Tschebyschew-Ungl

07.02.2011, 10:25

T0b1a5

Tschebyschew-Ungl

Morgen,

irgendwie erkenne ich gerade die einfachsten Sachen nicht mehr. Also:

Eine Zelle wird bestrahlt. Sie stirbt mit WS 1/2, überlebt ohne Teilung mit WS 1/3 und überlebt mit Teilung mit WS 1/6. Eine überlebende Zelle bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ und ein Rudel von Zellen mit $\begin{eqnarray*} Y_{n}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}X_{i} \end{eqnarray*}$ ist das Rudel von überlebenden zellen.Ganz Wichtig, die reagieren natürlich unabhängig.

Ganz einfach:
Bestimme Varianz und Erwartungswert für ein Rudel von 9000 Pantoffeltierchen.
$\begin{eqnarray*} E(Y_{n}) = 6000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Var(Y_{n})=9000 \end{eqnarray*}$

Nun zu dem komischen Part:
Schätzen Sie mit Hilfe der Teschebyscheffschen Ungleicheich die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass nach der Bestrahlung höchstens 5500 oder mindestens 6500 lebende Zellen vorhanden sind. Oder mathematisch: $\begin{eqnarray*} P\left(\left\{ Y_{n}\leq5500\right\} \cup\left\{ Y_{n}\geq6500\right\} \right) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun die erste WS mit Tscheb bestimmen möchte, mache ich mit folgender Rechnung doch etwas falsch, oder?

$\begin{eqnarray*} P\left(\left|\left\{ Y_{n}-E\left(Y_{n}\right)\right\} \right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{Var\left(Y_{n}\right)}{\epsilon^{2}}\Leftrightarrow P\left(\left|\left\{ Y_{n}-E\left(Y_{n}\right)\right\} \right|\leq5500\right)\geq1-\frac{9000}{5500^{2}}=0,9997 \end{eqnarray*}$

Dabei ist es doch eigentlich nur simpel Hilfe

Gruß

07.02.2011, 10:37

René Gruber

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Zitat:

Original von T0b1a5
Eine überlebende Zelle bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$

Ich finde diese Formulierung einfach nur schauderhaft unpräzise. Was du gemessen an deinen Folgerechnungen tatsächlich meinst ist:

$\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Anzahl der aus der i-ten Ausgangszelle hervorgegangenen überlebenden Zellen.

Zur Tschebyscheffrechnung: Du musst dort mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon=500 \end{eqnarray*}$ rechnen, nicht mit 5500. Außerdem ist auch $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y_n)=9000 \end{eqnarray*}$ falsch, rechne nochmal nach. unglücklich

07.02.2011, 11:01

T0b1a5

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Ach ja klar...ich Idiot. Hab die eine Hälfte bei der Rechnung mit der Varianz vergessen Big Laugh

Meine Formulierungen waren ein bisschen salop, da ich für die Stochastik-Klausur die Übungen aus "Mathematik für Pharmazeuten" zur Übung und hier steht alles noch schräger.

Also:
$\begin{eqnarray*} Var(Y_{n})=3000 \end{eqnarray*}$ . Und die Wahl von Epsilon ist mir jetzt auch klar. Wir haben einen Erwartungswert von 500 und wollen die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung haben, die größer ist als 500 lebende Zellen.

Das tut ja sooo weh Hammer

Also gilt:
$\begin{eqnarray*} P\left(\left|\left\{ \underset{i=1}{\overset{9000}{\sum}}X_{i}-E\left(\underset{i=1}{\overset{9000}{\sum}}X_{i}\right)\right\} \right|\geq\epsilon\right)=P\left(\left|\left\{ \underset{i=1}{\overset{9000}{\sum}}X_{i}-6000\right\} \right|\geq500\right)\leq\frac{Var\left(\underset{i=1}{\overset{9000}{\sum}}X_{i}\right)}{\epsilon^{2}}=\frac{3000}{500^{2}}=0.012 \end{eqnarray*}$

Oder ausformuliert:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach der Bestrahlung von 9000 Zellen höchstens 5500 oder mindestens 6500 lebende Zählen vorhanden sind, beträgt 1,2% (obere Schranke)

Es macht auch Sinn, da die Standardabweichung gerade mal ca. 54 lebende Zellen beträgt.

Mal wieder ein riesen Danke smile

07.02.2011, 11:08

René Gruber

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Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y_n)=9000\cdot\left( 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right) = 5000 \end{eqnarray*}$ .

07.02.2011, 11:36

T0b1a5

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Bei meiner ersten Rechnung hatte ich leider eine Binomialverteile-ZV im Kopf, aber ist Unfug.

Nun für meine Rechnung (bin ich heute mal wieder völlig neben der Spur ?)

$\begin{eqnarray*} Var\left(Y_{n}\right)=E\left(Y_{n}^{2}\right)-E\left(Y_{n}\right)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E\left(Y_{n}^{2}\right)=9000\cdot E\left(X_{1}^{2}\right)=9000\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot0^{2}+\frac{1}{3}\cdot1^{2}+\frac{1}{6}\cdot2^{2}\right)=9000\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{4}{6}\right)=9000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E\left(Y_{n}\right)^{2}=9000\cdot E\left(X_{1}\right)^{2}=9000\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot2\right)=9000\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{6}\right)=6000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Var\left(Y_{n}\right)=9000-6000=3000 \end{eqnarray*}$

07.02.2011, 11:43

René Gruber

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Eigentlich schade, dass du das nach meinem Beitrag nicht selbst merkst: Du hast ein Quadrat vergessen, und zwar hier:

Zitat:

Original von T0b1a5
$\begin{eqnarray*} 9000\cdot E\left(X_{1}\right)^{2}=9000\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot2\right)=9000\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{6}\right)=6000 \end{eqnarray*}$

Richtig ist

$\begin{eqnarray*} 9000\cdot E\left(X_{1}\right)^{2}=9000\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot2\right)^2=9000\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{6}\right)^2=4000 \end{eqnarray*}$

Und auch mit korrekter Rechnung ist das NICHT gleich $\begin{eqnarray*} (E(Y_n))^2 \end{eqnarray*}$ , ein weiterer Fauxpas, den ich jetzt auch erst sehr spät bei dir bemerkt habe.

07.02.2011, 11:54

T0b1a5

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Oha, dann war die ganze Zeit ne falsche Formel in meinem Kopf. Nochmehr "Danke", sowas gibt in der Klausur am Freitag bösen Punktabzug.

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Tschebyschew-Ungl

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