Radioaktiver Zerfall ? Caesium 137

07.02.2011, 15:13

Mai 1995

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Radioaktiver Zerfall ? Caesium 137

Meine Frage:
Von dem Caesium 137 zerfallen innerhalb eines Jahres etwa 2,3 % seiner Masse. Sei $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ = 100 g. Bestimme die zugehörige Zerfallskonstante k und die Halbwertszeit.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} N(t) = N_0 \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ = 100 g
k = 0,023, da 97,7 % (0,977) übrig bleiben

Dann kann ich einsetzen:

$\begin{eqnarray*} N (365) = 100 * e ^ {-0,0023*t} \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke.

Gruß
Mai 1995

07.02.2011, 15:14

Mai 1995

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RE: Radioaktiver Zerfall ? Caesium 137
Oh, da ist eine Null zu viel!

$\begin{eqnarray*} N (365) = 100 * e ^ {-0,023*t} \end{eqnarray*}$

EDIT: überflüssiges Komplettzitat entfernt.

07.02.2011, 15:57

klarsoweit

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RE: Radioaktiver Zerfall ? Caesium 137

Zitat:

Original von Mai 1995
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ = 100 g
k = 0,023, da 97,7 % (0,977) übrig bleiben

Die Begründung ist schräg und unterm Strich auch falsch. Setze doch mal in

Zitat:

Original von Mai 1995
$\begin{eqnarray*} N (365) = 100 * e ^ {-0,023*t} \end{eqnarray*}$

auf der rechten Seite t=365. Ist dann N(365)=97,7 ?

07.02.2011, 16:23

Mai 1995

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RE: Radioaktiver Zerfall ? Caesium 137

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mai 1995
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ = 100 g
k = 0,023, da 97,7 % (0,977) übrig bleiben

Die Begründung ist schräg und unterm Strich auch falsch. Setze doch mal in

Zitat:

Original von Mai 1995
$\begin{eqnarray*} N (365) = 100 * e ^ {-0,023*t} \end{eqnarray*}$

auf der rechten Seite t=365. Ist dann N(365)=97,7 ?

Hmm, da ist mir ein harter Brocken unterlaufen.

Wie kriegt man das e weg? Oder was kann man für das e einsetzen? Ist dies eine E-Funktion ?

Gruß
___________________________________

ah, ich habe eine Idee:

$\begin{eqnarray*} N(365)= N_0 * 0,977 \end{eqnarray*}$ ?
___________________________________

Dann haben wir dies:

$\begin{eqnarray*} N_0*0,997=N_0*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

und jetzt können wird durch $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ teilen,

kriegen dann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 0,997=e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

und dann haben wir in der Schule bei einer ähnlichen Aufgabe mit dem $\begin{eqnarray*} log \end{eqnarray*}$ gearbeitet. Da gab es jedoch kein e.
___________________________________

$\begin{eqnarray*} log (0,997) = -k*t * log (e) \end{eqnarray*}$

ja ... hmmm .... ????

EDIT (mY+): 4-fach (!) Post zusammengefügt.

08.02.2011, 08:42

klarsoweit

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RE: Radioaktiver Zerfall ? Caesium 137

Zitat:

Original von Mai 1995
Dann haben wir dies:

$\begin{eqnarray*} N_0*0,997=N_0*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Erstmal müßte es $\begin{eqnarray*} N_0 * 0,977 = N_0 * e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ heißen, wobei sich jetzt aber die große Frage stellt, in welcher Einheit du die Zeit t messen willst. In Jahren oder in Tagen? Entsprechend mußt du für t "1 Jahr" oder "365 Tage" einsetzen. Nach Division durch N_0 kannst du dann den natürlichen Logarithmus ln anwenden.

08.02.2011, 11:35

Mai 1995

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$\begin{eqnarray*} N_0 * 0,977 = N_0 * e^{-k*365} \end{eqnarray*}$ (Ich hätte mich für die 365 Tage entschieden. Wieso auch immer Big Laugh

Big Laugh

)

Jetzt teilen wir durch $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ und bekommen folgendes:

$\begin{eqnarray*} 0,977 = e^{-k*365} \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir den Logarithmus an:

$\begin{eqnarray*} log (0,977) = -365k * log (e) \end{eqnarray*}$

Und nun würde ich den $\begin{eqnarray*} log (e) \end{eqnarray*}$ rüber bringen und den $\begin{eqnarray*} log (0,977) \end{eqnarray*}$ durch eben diesen teilen. Aber wie geht das?

Gruß

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08.02.2011, 12:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mai 1995
$\begin{eqnarray*} N_0 * 0,977 = N_0 * e^{-k*365} \end{eqnarray*}$ (Ich hätte mich für die 365 Tage entschieden. Wieso auch immer Big Laugh

Big Laugh

)

Dabei wäre 1 Jahr viel einfacher gewesen. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Mai 1995
Nun wenden wir den Logarithmus an:

$\begin{eqnarray*} log (0,977) = -365k * log (e) \end{eqnarray*}$

Und nun würde ich den $\begin{eqnarray*} log (e) \end{eqnarray*}$ rüber bringen und den $\begin{eqnarray*} log (0,977) \end{eqnarray*}$ durch eben diesen teilen. Aber wie geht das?

Einfach eben teilen: $\begin{eqnarray*} \frac{log (0,977)}{log(e)} = -365k \end{eqnarray*}$
Wo war das Problem?

Aber ich weiß nicht, warum du so scharf auf den log bist, wobei du noch verraten mußt, zu welcher basis du diesen nimmst. Mit dem ln wäre das viel einfacher. Und sollte bei dir der log identisch mit dem ln sein, dann solltest du mal nachdenken, was log(e) bzw. ln(e) ist.

08.02.2011, 13:09

Mai 1995

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Zitat:

Original von Mai 1995
Nun wenden wir den Logarithmus an:

$\begin{eqnarray*} log (0,977) = -365k * log (e) \end{eqnarray*}$

Und nun würde ich den $\begin{eqnarray*} log (e) \end{eqnarray*}$ rüber bringen und den $\begin{eqnarray*} log (0,977) \end{eqnarray*}$ durch eben diesen teilen. Aber wie geht das?

Einfach eben teilen: $\begin{eqnarray*} \frac{log (0,977)}{log(e)} = -365k \end{eqnarray*}$
Wo war das Problem?

Aber ich weiß nicht, warum du so scharf auf den log bist, wobei du noch verraten mußt, zu welcher basis du diesen nimmst. Mit dem ln wäre das viel einfacher. Und sollte bei dir der log identisch mit dem ln sein, dann solltest du mal nachdenken, was log(e) bzw. ln(e) ist.[/quote]

Ln ist der natürliche Logarithmus, log ist der Zenherlogarithmus, wird bei uns jedoch auch für ln verwendet (siehe Wikipedia). Unser Lehrer meinte, es sei egal, welchen wir in den Taschenrechner eingeben. So habe ich das verstanden.

Aber zurück zur Aufgabe ....

Wie gebe ich das /log(e) in den Taschenrechner ein. Das verstehe ich nicht. Ist e diese eulersche Zahl?

Danke. Gruß

08.02.2011, 13:15

Mai 1995

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Wenn dies so ist:

$\begin{eqnarray*} -0,02327 = -365k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 0,00006375 \end{eqnarray*}$ (bei t 365 Tagen)

$\begin{eqnarray*} k = 0,02327 \end{eqnarray*}$ (bei t 1 Jahr)

Gut, das habe ich dann mal schon.

Gruß

08.02.2011, 13:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mai 1995
$\begin{eqnarray*} k = 0,00006375 \end{eqnarray*}$ (bei t 365 Tagen)

$\begin{eqnarray*} k = 0,02327 \end{eqnarray*}$ (bei t 1 Jahr)

Entsprechend mußt du noch beim k die jeweilige Einheit angeben.

08.02.2011, 13:49

Mai 1995

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$\begin{eqnarray*} k (Tage) = 0,00006375 \end{eqnarray*}$ (bei t 365 Tagen)

$\begin{eqnarray*} k (Jahre) = 0,02327 \end{eqnarray*}$ (bei t 1 Jahr)

Um zur Halbwärtszeit $\begin{eqnarray*} t_H \end{eqnarray*}$ zu kommen, gibt es da eine spezielle Formel, oder arbeitet man mit der hier oben angegeben?

Danke!

Viele Grüße

08.02.2011, 14:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mai 1995
$\begin{eqnarray*} k (Tage) = 0,00006375 \end{eqnarray*}$ (bei t 365 Tagen)

$\begin{eqnarray*} k (Jahre) = 0,02327 \end{eqnarray*}$ (bei t 1 Jahr)

Besser: $\begin{eqnarray*} k = \frac{0,00006375}{d} = \frac{0,02327}{Jahr} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mai 1995
Um zur Halbwärtszeit $\begin{eqnarray*} t_H \end{eqnarray*}$ zu kommen, gibt es da eine spezielle Formel

Ja.

Zitat:

Original von Mai 1995
oder arbeitet man mit der hier oben angegeben?

Welche meinst du?

08.02.2011, 14:23

Mai 1995

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Die:

$\begin{eqnarray*} N(t) = N_0 \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$

Aber wenn es eine spezielle gibt, wird wohl auch eben diese verwendet werden Big Laugh

Big Laugh

Danke.

08.02.2011, 14:24

klarsoweit

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Aus dieser Formel läßt sich die spezielle Formel ableiten. Setze da t = t_H ein und denke etwas nach.

08.02.2011, 14:39

Mai 1995

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$\begin{eqnarray*} N(t_H) = N_0 \cdot e^{-kt_H} \end{eqnarray*}$

Wir kennen ja $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ . Das sind 100 g. 50 g ist $\begin{eqnarray*} 1/2*N_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50 = 100 * e^{-0,02327*t_H} \end{eqnarray*}$

so?

Danke.

09.02.2011, 13:55

Mai 1995

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Ist dies soweit richtig?

Gruß

09.02.2011, 14:39

klarsoweit

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Ja, wobei es immer einen guten Eindruck macht, wenn man physikalische Werte mit Einheiten versieht. Also:

$\begin{eqnarray*} 50 = 100 \cdot e^{-0,02327 / Jahr \cdot t_H} \end{eqnarray*}$

09.02.2011, 15:32

Mai 1995

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, wobei es immer einen guten Eindruck macht, wenn man physikalische Werte mit Einheiten versieht. Also:

$\begin{eqnarray*} 50 = 100 \cdot e^{-0,02327 / Jahr \cdot t_H} \end{eqnarray*}$

Okay.

Dann durch 100 teilen:

$\begin{eqnarray*} 1/2 = e^{-0,02327 / Jahr \cdot t_H} \end{eqnarray*}$

log bilden:

$\begin{eqnarray*} 1/2 = -0,02327/Jahr*t_H * log (e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_H = -21,486893 \end{eqnarray*}$

stimmt dies so?

Gruß

09.02.2011, 16:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mai 1995
log bilden:

$\begin{eqnarray*} 1/2 = -0,02327/Jahr*t_H * log (e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_H = -21,486893 \end{eqnarray*}$

stimmt dies so?

Nein. Du mußt schon auf beiden Seiten den Logarithmus nehmen.

Und nochmal meine Bitte: wenn du mit log den ln meinst, dann schreibe bitte auch ln.

09.02.2011, 16:20

Mai 1995

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$\begin{eqnarray*} ln (1/2) = -0,02327/Jahr*t_H * ln (e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_H = 29,7871586 \end{eqnarray*}$

okay... wie gesagt wird dürfen in der Schule auch log schreiben, wenn wir den ln meinen.

SO richtig?

Danke!

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