Orthonormalbasis bestimmen

07.02.2011, 16:45

Panceco

Orthonormalbasis bestimmen

Hallo,

[attach]17999[/attach]

$\begin{eqnarray*} v1=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalisieren von v1

$\begin{eqnarray*} u1=\frac{v1}{||v1||} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }{||\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ||} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }{\sqrt{-1^{2}+0^{2}+1^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1 }{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Orthogonalisieren des 2. Vektors

$\begin{eqnarray*} u'2=v2-<v2,u1>*u1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - <\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\frac{1 }{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}>*\frac{1 }{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} -\frac{1 }{2}<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}>*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} -\frac{1 }{2}*0*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalisieren von u'2

$\begin{eqnarray*} u2=\frac{u'2}{||u'2||} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} }{||\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ||} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} }{\sqrt{1^{2}+1^{2}+-1^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} }{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich es richtig verstanden habe, dann müsste <u1,u2>=0 gelten,
jedoch bekomme ich da ungefähr -0,8 raus :/

Weiß jemand, wo ich Fehler gemacht habe?

Vielen Dank für Eure Hilfe smile

07.02.2011, 17:16

Panceco

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß jemand Rat?
Bitte smile

07.02.2011, 17:33

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthonormalbasis bestimmen

Zitat:

Original von Panceco
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} -\frac{1 }{2}<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}>*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} -\frac{1 }{2}*0*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Schritt stimmt nicht - hier hast du quasi ausgerechnet, dass deine ursprünglichen Vektoren schon orthogonal stehen - tun sie offenbar nicht, denn sonst wäre das ja auch dein endgültiges Ergebnis Augenzwinkern

.

Gruß
MI

07.02.2011, 18:53

Panceco

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthonormalbasis bestimmen
Also laut Tutorium darf man das

$\begin{eqnarray*} \frac{1 }{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

aus dem Skalarprodukt und das nach dem Skalarprodukt vor ziehen und zusammenfassen,
also in diesem Schritt:

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - <\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\frac{1 }{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}>*\frac{1 }{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} -\frac{1 }{2}<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}>*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meinteste Du das damit?

Aber auf jeden Fall schon mal Danke smile

08.02.2011, 08:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthonormalbasis bestimmen
Nein, MI meinte was anderes. Was ist denn $\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ ?

Und ab damit ins Hochschulforum.

11.02.2011, 13:17

Panceco

Auf diesen Beitrag antworten »

Habs jetzt endlich gefunden.
Ich bin hiernach vorgegangen (unten auf der Seite)

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens

11.02.2011, 13:43

Panceco

Auf diesen Beitrag antworten »

http://uni-wiki.mayastudios.net/images/math/f8c33ed0b7b4f97dfea450891f0efd01.png

Wobei ich nicht nachvollziehen kann wie aus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}} * <\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}> * \frac{1}{\sqrt{10}} * \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das wird

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} *\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand die mysterösen Zwischenschritte erläutern? smile

Neue Frage »

Antworten »

Orthonormalbasis bestimmen

Verwandte Themen