Zusammenhang zwischen Dimension von V und einem endlichen Körper

27.11.2006, 16:00	Kulli	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen Dimension von V und einem endlichen Körper Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich überhaupt nicht zurechtkomme. Sei k ein endlicher Körper und V ein endlichdimensionaler k- Vektorraum. Zeigen Sie, dass V endlich viele Elemente besitzt und #V=#k^(dimV) gilt. Mir ist klar das V endlich sein muss, da der Körper auch nur endlich ist. Aber wie zeige ich das und wie beweise ich die zweite Teilaufgabe?
27.11.2006, 18:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Seien $\begin{eqnarray} v_1,\ldots,v_n \end{eqnarray}$ Basisvektoren einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Zeige zunächst, dass jedes $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ eine eindeutige Darstellung der Form $\begin{eqnarray} v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n \end{eqnarray}$ besitzt, wobei $\begin{eqnarray} a_1,\ldots,a_n\in K \end{eqnarray}$ liegen. Danach musst du nur noch zählen, wie viele solcher Linearkombinationen es gibt. Gruß MSS
28.11.2006, 01:41	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das sehe, is das eine kombinatorische Aufgabenstellung. Nimm z. B. den Vekotrraum der Dimension 3 über demRestklassenkörper modulo 2. Dieser Körper enthält genau 2 Elemente. Wieviele verschieden Tripel gibt es nun für diese 2 Elemente? (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) usw. also 2^3 Möglichkeiten.

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