Linearkombination

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07.02.2011, 18:02	hYcode	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination Guten Abend Zeige, dass jeweils drei der vier Vektoren linear unabhängig sind, und stelle jeden der vier Vektoren als Linearkombination der drei anderen dar. 1. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wenn ich einen Vektor als Linearkombination durch die anderen Vektoren darstellen kann, ist der dargestellte Vektor doch linear abhängig. Wie soll ich dann zeigen, dass drei davon linear unabhängig sind? Kann mir jmd. helfen die Aufgabe zu verstehen? Danke
07.02.2011, 18:07	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Aufgabenstellung sagt dir, dass drei (!) Vektoren jeweils linear unabhängig sind, und dass ein linear abhängiges System entsteht, wenn man einen Vektor dazu nimmt. Was du tun sollst: Nimm die ersten drei Vektoren und zeige: Sie sind linear unabhängig. Nimm die ersten beiden und den letzten und zeige: Sie sind linear unabhängig. Und so weiter. Und danach sollst du zeigen, dass man jeden der Vektoren durch die anderen drei darstellen kann. Es sind dann vier Vektoren und die sind linear abhängig (anders, als wenn man nur drei nimmt). Besser so mit dem Verstehen?
07.02.2011, 18:21	hYcode	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Cel Ja verstanden, nur wie weise ich das am besten nach? Ich hätte das jetzt in die Form gebracht: $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun verliere ich hier doch sehr viel Zeit, wenn ich die ganze Zeit rumprobieren muss. Geht es einfacher?
07.02.2011, 18:56	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Die korrekte Gleichung wäre, auch dem rechten Vektor einen Parameter zu spendieren und ihn nach links zu ziehen und alles gleich 0 zu setzen. Du müsstest also folgende Gleichung lösen: $\begin{eqnarray} r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Und als Ergebnis dürfte nur r = s = t = 0 herauskommen, damit die Vektoren linear unabhängig sind. Es geht aber auch wirklich einfacher: Schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix, berechne den Rang (stelle also Zeilenstufenform her). Ist der Rang 3, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Was ganz anderes ist das zwar nicht, aber mir geht diese Vorgehensweise schneller von der Hand.
07.02.2011, 19:08	hYcode	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey hier ist das LGS. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe das nur noch nicht mit dem Rang verstanden. Wenn ich für die 3. Zeile nur Nullen erzeugen kann sind dementsprechend r,s und t = 0 oder? Dankeschön Cel
07.02.2011, 19:49	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist das korrekte LGS, ja. Verwende die senkrechten Striche aber nicht dafür, die benutzt man für Determinanten. Weiterhin fehlt bei deiner erweiterten Koeffizientenmatrix der senkrechte Strich. Ich schreib's noch mal für dich auf (siehe dazu auch hier): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc\|c}1 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das, was du danach schreibst, ist falsch: Wenn du eine Nullzeile erhälst, dann gibt es noch andere Lösungen außer (0,0,0). Es darf gerade keine Nullzeile entstehen.
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07.02.2011, 20:11	hYcode	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmal Cel. Ich hoffe du meinst mit Nullzeile, eine Zeile die ausschließlich aus Nullen besteht. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc\|c}1 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ I. + II. Führt zu: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc\|c}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ I. - III. Führt zu: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc\|c}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun sieht man, dass gerade keine "ganze" Zeile aus Nullen entsteht kann.. Aber dann gilt deine Aussage: r=s=t=0 auch nicht, da hier ja s = 3 ist.
07.02.2011, 23:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
s ist NICHT gleich 3, vielmehr ist 3s = 0 (!) Du musst das lGS schon richtig lesen. mY+
08.02.2011, 19:55	hYcode	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke mYthos 3s=0 Nur wenn s = 0 ist, kann diese Aussage erfüllt werden. Das heißt r=s=t=0 Somit ist die lineare Unabhängigkeit bewiesen. Und das ganze muss ich laut Aufgabenstellung noch 3-mal wiederholen, um zu beweisen das jeweils 3 linear unabhängig sind? Und darauf noch jeden der vier Vektoren als Linearkombination der drei anderen darstellen. Heißt das ich erstelle ein LGS, dass ungefähr so aussieht? $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}+ s* \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc\|c}1 & 2 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und in der 3.Zeile erhalte ich dann die Werte für r,s und t? Vielen Dank
09.02.2011, 12:17	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wie kommst du darauf? Diese Matrix ist eine Kurzschreibweise. Du musst / kannst diese Matrix auf Zeilenstufenform bringen und dann wieder zurückübersetzen, genau so, wie mYthos es angedeutet hat. Die Zahlen in der Matrix bezeichnen die Koeffizienten VOR r, s und t, also die Zahlen, die davor stehen und nicht etwa r, s und t selbst.

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