Eigenwert

07.02.2011, 18:29

monty

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Eigenwert

Hey ,

Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe vlt kann mir jemand von euch helfen.

Gegeben sei Die Matrix A.es ist bekannt dass A den Eigenwert L=1 und den Eigenvektor (1,1,0) und den Eigenwert l2=2 mit dem Eigenvektor (0,0,1) Besitz und das det(A)=0 gilt.

Ermitteln sie den dritten Eigenwert?

Geben sie den dazugehörigen Eigenvektor an

A:=

(a11)(a12)(a13)
(a12)(a22)(a23)
(a13)(a23)(a33)

Grüße

07.02.2011, 18:54

C3P0

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Hallo,
überlege dir mal, was det(A)=0 bedeutet. Daraus kannst du direkt den dritten Eigenwert ablesen.
Den Eigenvektor dazu gibt es übrigens nicht, die Lösung ist hier nicht eindeutig bestimmt. Du kannst hier jeden Vektor wählen, der von (1,1,0) und (0,0,1) linear unabhängig ist (warum?)

Grüße

07.02.2011, 18:59

monty

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Hey ,

also wenn die det(A)=0 ist kann ich daraus schließen das das LGS nicht eindeutig lösbar ist (geraden sind parallel ) oder das es unendlich viele Lösungen gibt (gerade fallen aufeinader)

Hmmm ich muss ehrlich zugeben ich weist nicht warum .

grüße und vielen dank für deine Antwort

07.02.2011, 19:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von C3P0
Du kannst hier jeden Vektor wählen, der von (1,1,0) und (0,0,1) linear unabhängig ist

Das stimmt nun wieder nicht, jeden kann man nicht nehmen:

Es ist ebenfalls die Information gegeben, dass A symmetrisch ist. In dem Fall stehen die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren orthogonal zueinander.

07.02.2011, 19:08

monty

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@HAL 9000

Hast du lvt einen tipp für mich ich bin wirklich ratlos.

Grüße

07.02.2011, 19:23

C3P0

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@HAL 9000:
Oh sorry, ich habe ganz übersehen, dass A symmetrisch ist. In dem Falle hast du natürlich recht, dann ist der dritte Eigenvektor nicht ganz so beliebig ^^.

@ monty
Es ist det(A)=0, also ist A nicht invertierbar. Je nachdem, was ihr bisher so behandelt habt, sollte daraus mehr oder weniger sofort folgen, dass es einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ mit Av = 0 gibt (warum?). Somit hast du schonmal den dritten Eigenwert, der ist dann nämlich 0.
Jetzt weißt du aus dem Post von HAL 9000 auch noch, dass v senkrecht auf den anderen beiden Eigenvektoren steht. Wie kannst du dann v bestimmen?

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07.02.2011, 19:24

HAL 9000

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(hat sich erledigt)

07.02.2011, 19:43

monty

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Hey ,

kann ich immer daraus schließen wenn die Det(A)=0 ist das es einen Nullvektor(von dem sprichst du doch) gibt? Hat jede Matrize einen Nullvektor? Und wie finde ich diesen Nullvektor Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Mir fällt dazu nur das Skalarprodukt ein ? Aber trozdem komm ich nicht weiter .

grüße und vielen dank

07.02.2011, 19:53

XL

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Keinen Nullvektor sondern einen Eigenwert Null

Wieso ist die Matrix symmetrisch?

07.02.2011, 20:08

monty

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Gut wenn ich davon ausgehen kann das es einen Eigenwert=0 geben kann das ist der erste teil der Aufgabe ja leicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Nur ist mir ledier nicht klar was das mit Av=0 zu tun hat (v ungleich null ist doch der nullvektor).

grüße und danke

07.02.2011, 20:08

C3P0

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Für jede Matrix A gilt immer $\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{0}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ .
Wenn det(A)=0 ist, gibt es aber immer einen Vektor v mit Av=0, wobei v nicht der Nullvektor ist. Wenn du dir das überlegen möchtest, kannst du z.B. deinen zweiten Post verwenden: Wir wissen, dass das Gleichungssystem Ax=0 garantiert eine Lösung hat (x=0), wenn det(A)=0 weißt du also, dass es noch eine weitere Lösung gibt.

Allerdings gilt das nicht für jede Matrix. Wenn det(B)=0 ist B invertierbar. Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} Bv=0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} B^{-1}Bv=B^{-1}0=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ .

Falls aber det(A)=0, findest du einen solchen Vektor, indem du das LGS Ax=0 löst.
Das nützt dir hier aber nicht viel, weil du die Matrix A ja nicht kennst.

Da du hier im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bist, kannst du einen Vektor finden, der senkrecht auf (1,1,0) und (0,0,1) steht, indem du das Kreuzprodukt benutzt.
Du könntest auch das Skalarprodukt benutzen. Du suchst also einen Vektor v mit $\begin{eqnarray*} v^T(1,1,0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v^T(0,0,1)=0 \end{eqnarray*}$ , diese Beiden Gleichungen bilden ein LGS, das sich (nicht eindeutig) lösen lässt.

Grüße

07.02.2011, 20:28

monty

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Alles klar,

vielen dank hab jetzt den vektor (1 -1 0) . So nun meine hätte ich noch eine frage wo weiss ich das der dritte vektor auf den beiden senkrecht steht ? Durch den dazugehörigen Eigenwert ?

Und was unterscheidet Det(b)=0 von Det(a)=0 bzw Matrix a und Matrix b .

Grüße und vielen Dank

07.02.2011, 20:28

XL

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Also fassen wir nochmal zusammen

det(A)=0 bedeutet,daß es einen Eigenwert 0 gibt mit einem Eigenvektor (kein Nullvektor)

Dieser Eigenvektor ist von den anderen beiden linear unabhängig

Aber wieso muß er senkrecht stehen?

Man findet doch sicher eine Matrix bei der das nicht so ist

07.02.2011, 20:39

monty

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Hab die Lösung. Verschiedene Eigenvektoren die zu verschiedenen Eigenwerte gehören stehen senkrecht aufeinander.

grüße und vielen dank

07.02.2011, 20:52

XL

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Das stimmt nicht

07.02.2011, 20:53

C3P0

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Das ist richtig, auch dein ermittelter Eigenvektor stimmt.

Zitat:

Original von monty
Verschiedene Eigenvektoren die zu verschiedenen Eigenwerte gehören stehen senkrecht aufeinander.

Das stimmt allerdings nur, wenn die Matrix symmetrisch ist, beliebige Matrizen können durchaus Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten haben, die nicht senkrecht aufeinander stehen.

@XL
Im ersten Post steht unten, dass A symmetrisch ist, hatte ich auch erst übersehen.

07.02.2011, 21:11

XL

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@C3PO

Stimmt. Danke für den Hinweis

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.02.2011, 21:11

monty

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Hey ,

Wie kommst du auf diese matrix?

grüße

07.02.2011, 21:24

C3P0

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Nein, das gilt nicht für jede Matrix, z.B. hat die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &0 &0\\ 2 &-2&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die Eigenvektoren (1,1,0), (0,0,1) und (0,1,1) zu verschiedenen Eigenwerten, und die stehen nicht alle senkrecht aufeinander.

Wie du auf die Matrix kommst? Habt ihr mal sowas wie Basistransformation gemacht?

07.02.2011, 21:26

monty

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nein sagt mir nichts .ich wäre dir wirklich dankbar wenn du es mir zeigen könntest.

Grüße

07.02.2011, 21:46

C3P0

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Hm, wenn ich dir jetzt erst alles über Basiswechsel erkläre, müsste ich vielleicht etwas zu weit ausholen. Ich versuche es mal so:
Wir wollen zuerst die erste Spalte von A bestimmen. Jetzt musst du dir einfach mal folgendes überlegen: Wenn du A mit (1,0,0) multiplizierst, erhälst du genau die erste Spalte von A.
Unser Problem ist natürlich, dass wir A nicht kennen, also nicht so ohne Weiteres $\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechnen können. Aber wir können folgendes machen:
Wir stellen (1,0,0) als Linearkombination von (1,1,0),(0,0,1) und (1,-1,0) dar, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} = 0,5\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1 \end{pmatrix} + 0,5\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist

$\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} = 0,5\cdot A\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} + 0\cdot A\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1 \end{pmatrix} + 0,5\cdot A\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das Tolle daran ist, dass auf der rechten Seite wissen, was A mit den Vektoren dort macht, das sind ja gerade unsere Eigenvektoren. Also:

$\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} = 0,5\cdot 1 \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} + 0\cdot 2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\1 \end{pmatrix} + 0,5\cdot 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und so hast du die erste Spalte von A.
Mit den anderen Spalten machst du es genauso, die zweite Spalte erhälst du entsprechend, indem du mit (0,1,0) multiplizierst, die dritte mit (0,0,1).

Grüße

07.02.2011, 21:56

monty

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vielen dank für deine geduld ich werde es so probieren.

grüße

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