Grenzwerte von Folgen

07.02.2011, 18:42

Kekskrümel

Grenzwerte von Folgen

Meine Frage:
Hallo erstmal.
Also, Aufgabenstellung ist folgende:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_{n}) _{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahlenfolge. Zeige:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a => \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} * \sum\limits_{k=1}^n a_k=a \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Problem bei solchen (oder generell _allen_ Aufgaben in der Hochschul Mathe), dass ich keinen Ansatz _habe_.
Ich weiß nichts über diese Folge.
Was ich weiß ist, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ , so dass bringt mich aber auch nicht weiter. Ganz im Gegenteil, dass verwirrt mich nur, weil müsste dann nicht der $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ der rechten Seite 0 sein?

07.02.2011, 19:13

Cel

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Hallo, der erste Schritt ist immer übersetzen. Augenzwinkern

Was bedeutet es, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert? Wenn du diese Tatsache auf "mathematisch" da stehen hast, gilt es, diese Formulierung bei dem Beweis zu nutzen. Aber schreib erst mal auf, was die Konvergent der Folge bedeutet, dann sehen wir weiter.

08.02.2011, 08:55

hubert2

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$\begin{eqnarray*} \lim a_n=a \end{eqnarray*}$ kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ex. ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \quad \forall n \ge n_0 \end{eqnarray*}$

Muss man damit jetzt wahrscheinlich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_k -a | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

aber wie? Brauch man die Dreiecksungleichung?

08.02.2011, 17:48

Cel

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Ok, das stimmt fast. Epsilon darf nur > 0 sein. Negative Epsilons kennt ein Mathematiker nicht. Augenzwinkern

Beachte bei den weiteren Umformungen, dass das n jetzt größer als $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist. Evtl. werden wir noch ein bisschen ändern, aber zunächst nehmen wir ein $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt fangen wir mit dem Abschätzen an:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n~a_k - a\right| = \frac{1}{n}\left| \sum_{k=1}^n~a_k - n \cdot a\right| = \frac{1}{n} \left|a_1 - a + a_2 - a + \dots + a_n - a \right| \leq \dots \end{eqnarray*}$

Und wirklich, hier solltest du die Dreiecksungleichung anwenden (n-mal). Denk daran, was du willst: Das soll kleiner als Epsilon werden. Das wird dir nicht gelingen. Es klappt hier mit dem gewählten n nur, den Ausdruck kleiner als Konstante mal Epsilon zu bekommen. Die Konvergenz zeigt man so aber auch. Übrigens: Wie kannst du den Faktor 1/n abschätzen? Denk an dein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ...

08.02.2011, 19:09

hubert2

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hi, ist es richtig dann so weiter zu machen?

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n~a_k - a\right| = \frac{1}{n}\left| \sum_{k=1}^n~a_k - n \cdot a\right| = \frac{1}{n} \left|a_1 - a + a_2 - a + \dots + a_n - a \right| \\ \leq \frac{1}{n}|a_1-a|+\frac{1}{n}|a_2-a|+ \dots + \frac{1}{n}|a_n-a| \end{eqnarray*}$

Ich komm nicht weiter unglücklich

Edit (Cel): Umbruch eingefügt

08.02.2011, 19:18

hubert2

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ich kann doch nicht einfach |a_n-a| ausklammern , oder?

$\begin{eqnarray*} =|a_n-a|( \frac{1}{n} \frac{|a_1-a|}{a_n-a}+ \dots + \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Den Klammerausdruck gleich Faktor l setzen und dann sagen :

$\begin{eqnarray*} =|a_n-a|*l \le l*\varepsilon \end{eqnarray*}$

08.02.2011, 19:36

Cel

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Zitat:

Original von hubert2
hi, ist es richtig dann so weiter zu machen?

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n~a_k - a\right| = \frac{1}{n}\left| \sum_{k=1}^n~a_k - n \cdot a\right| = \frac{1}{n} \left|a_1 - a + a_2 - a + \dots + a_n - a \right| \\ \leq \frac{1}{n}|a_1-a|+\frac{1}{n}|a_2-a|+ \dots + \frac{1}{n}|a_n-a| \end{eqnarray*}$

Das ist schon ok so, lasse nur das 1/n ausgeklammert und schätze es durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ ab. 1/n ist kleiner als der Bruch mit n_0. So, die ersten Betragsausdrücke sind kleiner als irgendeine Zahl - nenne sie meinetwegen C. Und $\begin{eqnarray*} |a_n - a| \end{eqnarray*}$ ? Das ist kleiner als Epsilon. Bekommst du jetzt mehr hin?

08.02.2011, 20:25

hubert2

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Naja,

also da steht dann ja

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}(|a_1-a|+|a_2-a|+ \dots +|a_n-a|) \le \frac{1}{n_0}(|a_1-a|+|a_2-a|+ \dots +|a_n-a|) =\frac{1}{n_0}((n-1)C + |a_n-a|) \le \frac{1}{n_0}((n-1)C+\varepsilon) \end{eqnarray*}$

Da bin ich doch wieder festgefahren , oder?

08.02.2011, 20:36

Kekskrümel

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Die Definition der Konvergenz hätte ich auch noch hinbekommen (wenn ich dieses fenster in meinem Browser wiedergefunden hätte *grml* ).
Naja.
Da hörts dann bei mir aber auch schon wieder auf, z.B. wäre ich (eventuell nach weiß der Geier wieviel grübeln aber auf keinen Fall in einer Klausur) nicht auf die Idee gekommen
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$
da einzusetzen.
Ganz zu schweigen von der dann folgenden Abschätzung.
Zuerst rechnest du ja nur die ersten n Summanden aus.
Nachdem du das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ aus dem Betrag gezogen hast.
Was sich mir jetzt jetzt nicht erschließt ist
a) warum "verschwindet" das n dann wieder?
Wenn du sagst er hätte 1/n nur durch 1/n_0 abschätzen sollen, wäre dass dann so richtig? (und meine fortsetzung direkt hinten dran)

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n~a_k - a\right| = \frac{1}{n}\left| \sum_{k=1}^n~a_k - n \cdot a\right| = \frac{1}{n_0} \left|a_1 - a + a_2 - a + \dots + a_n - a \right| \leq \frac{1}{n} \left|a_1 - a + a_2 - a + \dots + a_n - a \right| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{n_0}*C \leq C* \epsilon \end{eqnarray*}$
Jetzt bzw. vorher definiere ich C einfach als reelle Zahl größer 0.

Das macht jetzt nicht unbeding den Eindruck auf mich als wäre es richtig.

In dem Buch was ich gerade hier liegen hab ist (allerdings nur für Nullfolgen) definiert:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \ \exists n_0 \in \mathbb N \ \forall n \in \mathbb N \ n \geq n_0 \ |a_n| \leq K* \epsilon \end{eqnarray*}$
Aber ich geh mal davon aus, dass das allgemein für die Folgenkonvergenz gilt?
Weil eine Nullfolge ja nichts anderes ist als
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \ \exists n_0 \in \mathbb N \ \forall n \in \mathbb N \ n \geq n_0 \ |a_n-a| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

Oh hab ich schon erwähnt, dass ich bloß armer Informatik Student bin, der den ganzen Kram gar nicht wissen will/muss? :/

p.s.
Hab jetzt zuviel Zeit darauf verbraucht, dass hier zu schreiben deswegen lass ich's einfach stehen.

Wieso macht hubert2 aus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0} (|a_1 -a|+ \dots ||a_n -a|) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0} ((n-1)C + |a_n-a|) \end{eqnarray*}$ ?

also |a_n -a| ist mir jetzt klar, dass ist ja gerade dass das kleiner epsilon sein soll.
nur wo kommt das (n-1)*C her? bzw. warum (n-1)?

Edit(Cel): Auch hier habe ich mal den LaTeX-Code ein wenig zurecht gerückt ... Augenzwinkern

09.02.2011, 00:02

Cel

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So, ich hab jetzt noch mal zwei Minuten darüber nachgedacht und denke: Alle Wege aus diesem Thread führen nach Rom:

Zitat:

Original von hubert2
ich kann doch nicht einfach |a_n-a| ausklammern , oder?

$\begin{eqnarray*} =|a_n-a|( \frac{1}{n} \frac{|a_1-a|}{a_n-a}+ \dots + \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Den Klammerausdruck gleich Faktor l setzen und dann sagen :

$\begin{eqnarray*} =|a_n-a|*l \le l*\varepsilon \end{eqnarray*}$

Das habe ich vorhin übersehen, ich denke, dass das so möglich ist, wenn du die n in der Klammer auch noch mal mit dem n_0 abschätzt und auch die Nenner durch Epsilon.
Edit: Mir fällt gerade auf, dass das doch nicht klappt. Durch Abschätzen mit Epsilon bekommt man kein sauberes kleiner gleich hin, da man den Nenner kleiner macht.

So ähnlich geht es auch mit deinem anderen Ansatz:

Zitat:

Original von hubert2
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}(|a_1-a|+|a_2-a|+ \dots +|a_n-a|) \le \frac{1}{n_0}(|a_1-a|+|a_2-a|+ \dots +|a_n-a|) =\frac{1}{n_0}((n-1)C + |a_n-a|) \le \frac{1}{n_0}((n-1)C+\varepsilon) \end{eqnarray*}$

Hier würde ich (n-1)C durch nC abschätzen, verrechnen, dann wieder ausklammern, diesmal das Epsilon. Gefällt mir sogar noch besser.

@ Kekskrümel: Deine letzten beiden Abschätzungen passen nicht. Dort müsste $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{n_0} (C + \varepsilon) \end{eqnarray*}$ stehen. Die ersten n-1 Beträge durch ein passendes C abgeschätzt, den letzten durch Epsilon. Da kann man dann auch Epsilon ausklammern und erhält < konst * Epsilon.

09.02.2011, 14:59

hubert2

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HI,

das wäre dann ja wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}((n-1)C+\varepsilon) \le \frac{1}{n}nC+\frac{1}{n}\varepsilon =C+\frac{1}{n}\varepsilon = \varepsilon(\frac{C}{\varepsilon}+\frac{1}{n})=C' \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ist es denn völlig unwichtig, dass man über den Faktor C' vor dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gar nichts weiß? Man kann ja schon damit rechnen, dass er ziemlich groß ist, oder darf er gar nicht mehr von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängen?

Wie würdest du es aufschreiben? smile

09.02.2011, 15:11

Cel

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Hallo, am Ende solltest du das n durch $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ersetzen. Ansonsten ist das gut so. Und ja, es ist egal, wie genau das C' aussieht. Übrigens hängt es von Epsilon ab, genauso wie das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . Der Faktor C' ist sehr groß, das stimmt, aber das Epsilon selbst ist sehr klein.

Bei mir steht das genau so, bis auf die Sache mit dem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ .

10.02.2011, 11:10

hubert2

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Alles klar, Vielen Dank für deine Erklärung Wink

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