Transformation uneigentlicher Integrale

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07.02.2011, 20:39	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation uneigentlicher Integrale Meine Frage: hey.. brauch mal kurz eurer Hilfe.. prinzipiell weiß ich wie es funktionieren soll.. praktisch stell ich mich aber grad nen bisschen dusslig an.. also.. ich soll folgendes Integral durch geeignete Substitution in eine andere form bringen: $\begin{eqnarray} \int_0^5 \!e^{\frac{-4}{t} } t^3 \, dt = \int_1^\infty \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also ich würd jetz $\begin{eqnarray} t(x)= \frac {5}{x} \end{eqnarray}$ als substitution nehmen.. damit bei der gefordeten form dann die grenzwerte stimmen.. die substitutionsformel ist ja: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(g(x))g'(x) \, dx = \int_c^d \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ wobei gilt $\begin{eqnarray} c=g(a) , d=g(b) \end{eqnarray*}$ irgendwie stolper ich jetz immer bei der ableitung und allem :/ kann mir einer kurz helfen?! wäre super!
07.02.2011, 20:45	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich das richtig, dass du diese Information gegeben hast: $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Und den Ausdruck in diese Form bringen sollst? $\begin{eqnarray} \int_0^5 \!e^{\frac{-4}{t} } t^3 \, dt \end{eqnarray}$ Oder ist $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ noch exakt angegeben? Ibn Batuta
07.02.2011, 20:49	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
ne anders rum.. ich muss das integral mit dem e in die f(x) form bringen... f(x) soll denn irgendwann aussehen wie $\begin{eqnarray} \frac{e^\frac{-x}{5}}{x} \end{eqnarray}$
07.02.2011, 21:18	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nach meiner Meinung ist Deine Transformation korrekt. Nun musst Du aufpassen, richtig herum zu argumentieren. Wir betrachten die Transformationsformel. Gehe davon aus, dass f(x), also die rechte Seite der Transformationsformel, gegeben ist. Was ist hier Dein g(x)? Nun musst Du g'(x) erreichnet. Wie ermittelt man die Grenzen? Gruß Christian
07.02.2011, 21:23	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchen wir mal $\begin{eqnarray} t=\frac 5 x\Rightarrow x = \frac 5 t \end{eqnarray}$ . Dann ist die untere Grenze: $\begin{eqnarray} x = \lim_{t\to 0} \frac 5 t = \infty \end{eqnarray}$ und die obere Grenze: $\begin{eqnarray} x = \frac 5 5 = 1 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \frac{\dd t}{\dx}=-\frac 5 {x^2}\Rightarrow \dd t = -\frac5{x^2} \dx=-t\cdot\frac{1}{x}\dx=-t\cdot\frac{t}{5}\dx=-\frac{t^2} 5\dx \end{eqnarray}$ Nun kannste das alles verwenden. Ibn Batuta
07.02.2011, 21:44	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das alles jetz verwende, hab ich: $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \! e^{\frac{-4x}{5}}\cdot 5x \, dx \end{eqnarray}$ kann das stimmen? :/ also..wenn ich das einsetze: $\begin{eqnarray} \int_\infty ^1 \! e^{\frac{-4x}{5}} (\frac{5}{t})^{3} (-\frac{t^{2}}{5})\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\int_\infty ^1 \!e^{\frac{-4x}{5}} \frac{25}{t} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \! e^{\frac{-4x}{5}} \frac{25x}{5}\, dx \end{eqnarray}$
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07.02.2011, 21:53	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ganz langsam. $\begin{eqnarray} \int_0^5 \!e^{\frac{-4}{t} } t^3 \, dt \end{eqnarray}$ Die Grenzen, siehe oben mein Beitrag. $\begin{eqnarray} e^{\frac{-4}{t} } \end{eqnarray}$ wird zu was? $\begin{eqnarray} t^3 \end{eqnarray}$ wird zu was? $\begin{eqnarray} \dd t \end{eqnarray}$ wird zu was? Ibn Batuta
07.02.2011, 22:06	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
na ich dachte ich setze für t immer mein $\begin{eqnarray} \frac {5}{t} \end{eqnarray}$ daher wird aus $\begin{eqnarray} e^{\frac{-4}{t}}=e^{\frac{-4x}{5}} \end{eqnarray}$ und dt forme ich um sodass ich $\begin{eqnarray} dt= -\frac{t^{2}}{5} \end{eqnarray}$ ??? aber wie es scheint.. war das falsch.. :/ stimmt vermutlich auch nich.. hab jetz $\begin{eqnarray} dt=-\frac{5}{x^2} dx \end{eqnarray}$ eingesetzt $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \! e^{\frac{-4x}{5}} \frac{5^4}{x^3} \, dx \end{eqnarray}$ ich glaub ich seh den wald vor lauter bäumen nich..
07.02.2011, 22:16	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{\frac{-4}{t} }=e^{\frac{-4}{\frac 5 x} }=e^{\frac{-4x}{5} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t^3=\left(\frac{5}{x}\right)^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dd t=-\frac 5 {x^2}\dx \end{eqnarray}$ Nun die Grenzen noch. Ibn Batuta
07.02.2011, 22:22	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
naja was du mir jetz geschrieben hast hab ich verstanden.. scheinbar hapert es beim richtigen verwenden der grenzen :/ tut mir echt leid, dass ich da so aufm schlauch stehe..
07.02.2011, 23:49	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Zitat von mir oben: Dann ist die untere Grenze: $\begin{eqnarray} x = \lim_{t\to 0} \frac 5 t = \infty \end{eqnarray}$ und die obere Grenze: $\begin{eqnarray} x = \frac 5 5 = 1 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \int_{\infty}^1 e^{\frac{-4x}{5} } \cdot \left(\frac{5}{x}\right)^3 \cdot \left(-\frac 5 {x^2}\right)\dx \end{eqnarray}$ Grenzen vertauschen und Vorzeichen umdrehen: $\begin{eqnarray} \int_{1}^\infty e^{\frac{-4x}{5} } \cdot \left(\frac{5}{x}\right)^3 \cdot \frac 5 {x^2}\dx=625\cdot \int_{1}^\infty \frac{e^{\frac{-4x}{5}}}{x^5}\dx \end{eqnarray}$ Ibn Batuta
07.02.2011, 23:58	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
aber warum heißt es dann: $\begin{eqnarray} 625\int_{1}^\infty\frac{e^{\frac{-4x}{5}}}{x^4}\dx \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} 625\int_{1}^\infty\frac{e^{\frac{-4x}{5}}}{x^5}\dx \end{eqnarray}$ ? :/ danke aber schonmal für die hilfe bis hier
08.02.2011, 00:00	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil das ein leichtsinniger Fehler meinerseits ist, bitte vielmals um Pardon. Werde den Fehler gleich ausbessern. Ibn Batuta
08.02.2011, 00:03	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
achso na dann.. ^^ vielen lieben danke! wünsch dir nen schönen abend!

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