Reihe mit Binomialkoeff.

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07.02.2011, 20:53	GastMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe mit Binomialkoeff. Hi, ich habe mich mit folgender Reihe beschäftigt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} (- \frac{1}{2})^{i} \frac{log(2)^{k}}{k!} \end{eqnarray}$ Wenn ich die Summen vertauschen dürfte (was ja noch zu zeigen wäre), würde ich auf: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^\infty \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} (- \frac{1}{2})^{i} \frac{log(2)^{k}}{k!} \end{eqnarray}$ kommen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{log(2)^{k}}{k!} \sum\limits_{i=0}^\infty \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} (- \frac{1}{2})^{i} \end{eqnarray}$ Linker Hand weiß ich, dass es = 2 ist, damit würde die Summe dort wegfallen. (Def. Exp-reihe). Aber rechter Hand weiß ich absolut nicht weiter. Also: a) wie geht es da weiter? b) Es ist ja noch zz. dass ich überhaupt umordnen darf.. wie mache ich das hier am besten bzw. wie zeige ich am besten, dass ich es doch nicht darf (hab ja einfach mal dreister weise gefordert, dass man es überhaupt darf..)
07.02.2011, 21:31	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, guck dir mal die Taylorentwicklung für (1+x)^a an. Das sollte dir glaube ich weiterhelfen. mfg
07.02.2011, 22:26	GastMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke schonmal für den Hinweis, aber ich habe jetzt bisschen in meinem Skript gesucht und ich finde scheinbar nichts dergleichen - das kann daran liegen, dass man wir den Stoff noch nicht gehabt haben (wir reden hier grundsätzlich von Ana1, ich habe die Aufgabe aus einer älteren Klausur entnommen um diese zu bearbeiten, damit ich ein Gefühl für solche Aufgaben kriege). Es könnte also sein, dass der damalagie Jahrgang diese oder eine ähnliche Formel gehabt hatten und wir nicht (damit wüsste ich nun "endgültig" nicht weiter)- oder ich es einfach nicht sehe, dann wäre es evtl. hilfreich zu wissen, unter welchem Namen man es noch kennen könnte. Derweil schaue ich noch ein bisschen ins Skript..
07.02.2011, 22:43	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es ist normalerweise soweit ich weiß eine Art "standard" Taylorformel, die eignetlich fast immer in Ana 1 gezeigt wird. Es ist für \|x\|<1 , a in R , (für natürliche a ist es eine endliche(!) Summe (bei dir ist das der Fall und du brauchst nur Binomischen Lehrsatz) aber es schadet nicht zu wissen...)): $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} a \\ k \end{pmatrix} x^k \ = (1+x)^a \end{eqnarray}$ das sollte helfen denke ich. mfg
07.02.2011, 22:59	GastMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wenn ich das einsetze, dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} (- \frac{1}{2})^{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (1- \frac{1}{2})^{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (\frac{1}{2})^{k} \end{eqnarray}$ Mit der 2. aus der anderen Reihe der Doppelreihe hätte ich dann ja praktisch $\begin{eqnarray} = (\frac{1}{2})^{k-1} \end{eqnarray}$ Wäre das soweit richtig? Dann wäre ja noch zu zeigen, dass ich überhaupt umordnen darf..
07.02.2011, 23:16	leithian	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 2 darfst du aber nicht reinmultiplizieren solange der Faktor noch von k abhängt, aber es ist immernoch eine e-Funktion. Um die Vertauschbarkeit zu zeigen, muss man entweder verschiedene Sätze über Doppelreihen heranziehen oder geeignete (Integral)-Abschätzungen.
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07.02.2011, 23:48	GastMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal danke für deine bisherige Unterstützung , aber ich habe gerade einfach keine Idee, wie ich da noch auf eine e - Funktion (Potzenreihe mit z=? (und wo kriege ich dann das k! im Nenner her?) kommen soll - werde ich morgen mal weiter schauen, denn ich bin jetzt einfach zu müde dafür.
08.02.2011, 18:43	GastMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich bin nun etwa hier: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty 2 \frac{1}{2^{k}} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{log(2)^{k}}{k!2^{k}} \end{eqnarray}$ Habe ich den momentanen Stand der Dinge bei meinem Problem richtig übersetzt oder ist da auch noch ein Fehler drin und wie komme ich hier nun geeignet weiter - mit dem Hinweis leithian konnte ich jetzt immer noch nichts anfangen, von daher stecke ich hier wieder fest. Oder kann ich etwa bei der ersten Darstellung die 2 ( als Konstante) einfach aus der Summe rauswerfen und dann mit unendlich. geometrischer Reihe auflösen? Dann wäre ich ja zumindest mit dem Teil fertig, weil das Ergebnis dann 4 wäre...
09.02.2011, 20:39	GastMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bräuchte hier immer noch Ratschläge - wenn ich diese beiden Summen z.B. in Wolfram Alpha eingebe, dann erhalte ich unterschiedliche Ergebnisse und ich weiß jetzt nicht, was richtig ist und wie ich weiter geeignet vorgehe, v.a. mit aber es ist immernoch eine e-Funktion. kann ich irgendwie immer noch nicht so recht etwas anfangen..

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