Nullstellen und deren Vielfachheiten (mit Parameter)

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Laura2 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen und deren Vielfachheiten (mit Parameter)
Meine Frage:
Hallo! Beim oben genannten Thema hab ich so meine Schwierigkeiten...
beispiel:

f(x) = (x²-9) * (k-x)

Nullstellen ermittle ich einfach indem ich schau wann die klammern null sind, stimmts?

x1 = 3 x2 = -3 x3 = k

so, und nun gibt es ja irgendwie 3 fälle...

1. fall k = x dann gibt es eine Lösung
2. fall k < x dann gibt es keine Lösung
3. fall k > x dann gibt es zwei Lösungen

aber was setzt ich für das x?
und was hat es mit diesen doppelten/einfachen nullstellen auf sich?
verstehe das nicht wirklich...



Meine Ideen:
.
Gast 17 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen und deren Vielfachheiten (mit Parameter)
Wahrscheinlich geht es um k=3 und k=-3
Laura2 Auf diesen Beitrag antworten »

okay...und wie kommst du da drauf? und wie ist das mit den vielfachheiten? versteh das nicht so recht... unglücklich
Gast 17 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt doch 3 Nullstellen
duster Auf diesen Beitrag antworten »

Doppelte Nullstelle "bedeutet, dass eine Funktion die X-Achse nicht schneidet, sondern nur tangiert."

Quelle: http://forum.worldofplayers.de/forum/sho...08&#post8201008
Linda20 Auf diesen Beitrag antworten »

Die frage ist ja vielmehr wie ich da eine Fallunterscheidung mache...und warum ich in der fallunterscheidung einmal k = -3, einmal k = 3 und einmal k ist ungleich +-3 mache. und was mit k passiert, welches ja auch nullstelle ist...
 
 
Gast 17 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt 3 Nullstellen x1=3 x2=-3 x3=k
Das hattest du ja schon

Bei k ist 3 oder -3 gibt es doppelte Nullstellen (Vielfachheit 2)
duster Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast 17
(...)

Bei k ist 3 oder -3 gibt es doppelte Nullstellen (Vielfachheit 2)


Das stimmt nicht.

So wie ich das sehe, gibt es nur doppelte Nullstellen, falls x=k und k=3 oder k=-3 gilt. Sonst hat die Funktion nur normale Nullstellen.

Je höher bzw. niedrieger man k wählt, desto weiter wird die Funktion nach unten bzw. oben verschoben. Aber ab welchem k bin ich mir noch unsicher.

Das sieht man, wenn man (x²-9) * (k-x) ausmultipliziert. Je nach dem wie das k gewählt wird hat die Funktion 1,2 oder 3 Lösungen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So wie ich das sehe, gibt es nur doppelte Nullstellen, falls x=k und k=3 oder k=-3 gilt.


Was anderes wurde auch nie behauptet verwirrt

Zitat:
Je höher bzw. niedrieger man k wählt, desto weiter wird die Funktion nach unten bzw. oben verschoben. Aber ab welchem k bin ich mir noch unsicher. Das sieht man, wenn man (x²-9) * (k-x) ausmultipliziert.


Das ist Unsinn, k steht ja auch noch als Faktor vor x².

Zitat:
Je nach dem wie das k gewählt wird hat die Funktion 1,2 oder 3 Lösungen.


Auch das ist Quark, und was sollen eigentlich Lösungen von Funktionen sein ? geschockt

Ich würde sagen es ist bereits alles zur Lösung der Aufgabe gesagt worden.
Linda20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Björn! Irgendwie bin ich jetzt noch mehr verwirrt. Habe da nochmal ein anderes Beispiel:


durch ausklammern und pq-formel komm ich auf die nullstellen

x1= 0
x2 = 2k
x3 = -0,5k

so, nun sehe ich in der lösung eine fallunterscheidung welche folgendermaßen aussieht:

1. fall: k = 0

-> x1/2/3 = 0 -> dreifache NST


2. fall: k 0

x1 = 0; x2= 2k; x3 = -0,5k -> je einfache NST


warum nehme ich da einmal an, dass k 0 ist und einmal ungleich 0?
verstehe das einfach nicht so recht.
wäre super wenn mir da jemand allgemein sagen könnte wie ich immer vorgehen muss.

danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Linda20
warum nehme ich da einmal an, dass k 0 ist und einmal ungleich 0?

Wegen eben diesem:
Zitat:
Original von Linda20
durch ausklammern und pq-formel komm ich auf die nullstellen

x1= 0
x2 = 2k
x3 = -0,5k

Offensichtlich führt der Fall k=0 zu einer dreifachen Nullstelle, ansonsten nicht.
Linda20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo lieber Klarsoweit, danke für die Antwort.

aber woher weiß ich das ich mit 0 eine dreifache nst habe?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn x1=0 und x2=2k ist, dann könnte man sich ja mal fragen, für welches k x1 = x2 ist. Augenzwinkern
Linda20 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, super das war wirklich schonmal ne sehr gute antwort.

jetzt hab ich da noch ein beispiel:

1/4*(x+1)*(x²-10x+a)

nullstellen:

x1=&#8722;1

und für die zweite klammer (x²-10x+a) mach ich dann pq-formel:

nun habne wir da irgendwie in der schule eine "Diskriminantenanalyse" gemacht, ist anscheinend gleichwertig mit einer fallunterscheidung, stimmt das?

aufjedenfall steht ja dann in der wurzel bei der pq-formel: 25&#8722;a

aber wie mache ich daj etzt weiter?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nun habne wir da irgendwie in der schule eine "Diskriminantenanalyse" gemacht, ist anscheinend gleichwertig mit einer fallunterscheidung, stimmt das?


Nun es geht hier doch im Prinzip immer um die Anzahl von Lösungen bei einer Gleichung.
In diesem Fall um die Anzahl der Nullstellen, also um die Anzahl solcher x-Werte, die als Funktionswert null zur Folge haben.

Nun hängt der Linearfaktor (x+1) nicht von a ab und damit weiß man, dass in jedem Fall schonmal EINE Nullstelle x=-1 vorliegt, egal wie man sein a wählt.
Jetzt ist es halt noch interessant zu schauen, was denn nun der andere Faktor (x²-10x+a) als quadratischer Term zur Anzahl der Lösungen beiträgt.
Und immer wenn es um die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung - hier also um x²-10x+a=0 - geht, dann schreit das förmlich nach der Diskriminante.

Überlege dir nun welche Fälle sich hier ergeben können, was also für a gelten muss, damit D<0 oder D=0 oder D>0 wird.
Linda20 Auf diesen Beitrag antworten »

da die diskriminante ja 25 - a lautet


gibt es für D = 0 eine möglichkeit, a = 25
für D > 0 gibt es ... hm und hier wirds schon schwieriger,
da gibt es natürlich 1000 möglichkeiten...?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt sogar unendlich viele Möglichkeiten Augenzwinkern

Löse doch einfach noch die Ungleichungen 25-a>0 bzw 25-a<0 und dann hast du ja deine Fälle für a.
Danach musst du das nur noch in Zusammenhang mit der Anzahl der Nullstellen bzgl. des Graphen deiner Ausgangsfunktion(sschar) bringen.
Linda20 Auf diesen Beitrag antworten »

also D = 0

0 = 25 -a

a = 25

1. Fall a = 25: x=-1, x2/3 = 5



D > 0
a < 25

2. Fall a < 25: x1 = - 1; x2/3 = jeweils die ausgerechneten nullstellen


D < 0
a>25

3. Fall a<25 : x1 = -1, sonst eine NST


und das ist das gleiche verfahren wie bei der aufgabe von vorhin:

"

Hallo Björn! Irgendwie bin ich jetzt noch mehr verwirrt. Habe da nochmal ein anderes Beispiel:


durch ausklammern und pq-formel komm ich auf die nullstellen

x1= 0
x2 = 2k
x3 = -0,5k

so, nun sehe ich in der lösung eine fallunterscheidung welche folgendermaßen aussieht:

1. fall: k = 0

-> x1/2/3 = 0 -> dreifache NST


2. fall: k 0

x1 = 0; x2= 2k; x3 = -0,5k -> je einfache NST


warum nehme ich da einmal an, dass k 0 ist und einmal ungleich 0?
verstehe das einfach nicht so recht.
wäre super wenn mir da jemand allgemein sagen könnte wie ich immer vorgehen muss.

"
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schlüssel ist wie schon merhfach erwähnt immer, dass man sich klar macht wann sich etwas an der Anzahl der Lösungen einer Gleichung ändern kann.

In deinem neuen Beispiel ist die eine Nullstelle x1=0 offenbar unabhängig von k.
Somit wird x1=0 IMMER eine Nullstelle sein, der Graph der Funktion wird also immer mindestens eine Nullstelle besitzen.

Nun schaut man eben noch auf die anderen beiden Nullstellen und stellt fest:
Wenn ich für k null einsetze entsteht auch für x2 und x3 null.
Damit wäre null eine drei-fache Nullstelle.

Für alle anderen k entstehen für x2 und x3 zwangsweise ja jeweils zwei verschiedene Werte ungleich null, was dann zu insgesamt 3 verschiedenen, also 3 ein-fachen Nullstellen führt.

Je nachdem wie der Funktionsterm lautet kann es immer andere Vorgehensweisen geben. Es gibt da kein Schema F (zumindest was die Umformungen betrifft).
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