Innerer Automorphismus/Linkstranslation

08.02.2011, 01:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Innerer Automorphismus/Linkstranslation Ich hätte da ein paar Fragen zu Beweisen in Karpfinger/Meyberg. Kapitel 4 Normalteiler. Ich hoffe, ihr könnt die Buchvorschau öffnen. Lemma 4.3 (klick) Es ist $\begin{eqnarray} \varphi: ~G \to H \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus. und V ein Normalteiler von H. Bei folgender Kette habe ich Probleme. Sei $\begin{eqnarray} x \in \varphi^{-1}(V), a \in G \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \varphi(x) \in V \end{eqnarray}$ (klar) und $\begin{eqnarray} \varphi(axa^{-1}) = \varphi(a)\varphi(x)\varphi(a)^{-1} \in V \end{eqnarray}$ So, das "=" müßte aus den Eigenschaften des Homomorphismus folgen. Offen ist für mich das "Element V". Und da kommt der Titel ins Spiel. Es ist ja $\begin{eqnarray} \varphi(x) \in V \end{eqnarray}$ . Kann ich dann $\begin{eqnarray} \varphi(a)\varphi(x)\varphi(a)^{-1} \end{eqnarray}$ als Bild von $\begin{eqnarray} \varphi(x) \end{eqnarray}$ unter dem Inneren Automorphismus (Konjugation?) verstehen? Und damit liegt dieses Bild ja wieder in V. Lemma 4.2 (klick) Warum gilt: $\begin{eqnarray} a \notin U \Rightarrow aU = G\setminus U = Ua \end{eqnarray}$ Die Untergruppe U hat die Ordnung 2. Wenn nun a nicht in U liegt, dann liegt auch $\begin{eqnarray} au \end{eqnarray}$ für alle u aus U nicht in U. Somit liegt aU in G\U. Warum gilt Gleichheit? Weil aU das Bild der Untergruppe unter der Linkstranslation mit a (Bijektion) ist? Und mit der gleichen Argumentation folgt das zweite Gleichheitszeichen, eben mit der Rechtstranslation? Danke.
08.02.2011, 01:28	C3P0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zu Lemma 4.3: Ja, setze einfach $\begin{eqnarray} \varphi(a)=y \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \varphi(a)\varphi(x)\varphi(a)^{-1} = y\varphi(x)y^{-1} \end{eqnarray}$ , also wird dabei $\begin{eqnarray} \varphi(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ konjugiert, da V normal in H ist, ist das wieder in V. zu Lemma 4.2: U hat Index 2 in G, also gibt es nur zwei Linksnebenklassen. G ist dann die disjunkte Vereinigung dieser beiden Linksnebenklassen. Ist a nicht in U, so ist wie in deiner Begründung aU in G\U. Da aber $\begin{eqnarray} G=U \cup aU \end{eqnarray}$ ist (und diese Vereinigung disjunkt ist), folgt $\begin{eqnarray} aU = G\setminus U \end{eqnarray}$ . Da es gleich viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, folgt mit dem gleichen Argument $\begin{eqnarray} Ua=G\setminus U \end{eqnarray}$ . Grüße
08.02.2011, 14:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
zu Lemma 4.3: Dann lag ich da ja nicht falsch. zu Lemma 4.2: Verstehe nun auch den letzten Schritt. Danke.

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