Beweis Basis Dimension

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Arne87 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Basis Dimension
Meine Frage:
Hallo,
ich muss folgendes beweisen, ich komme aber leider nicht darauf:

Sei V ein endlicher K-Vektorraum und n aus N.
zu zeigen:

dimV = n <=> Es existiert in V ein linear unabhängiges System von n Vektoren und jeweils n+1 Vektoren sind linear abhängig.


1000 Dank!

Meine Ideen:
Ich weiß dass man auf jeden Fall beide Richtungen zeigen muss.
Und man darf wohl den Basisergänzungssatz und den Dimensionssatz verwenden.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Sätze sind schonmal wichtig..

Wie habt ihr denn die Dimension definiert?
Arne87 Auf diesen Beitrag antworten »

unser Dimensionstheorem:

In einem K-Vektorraum V mögen die Elemente a1 .. an eine Basis sowie die Elemente b1 .. bm ein Erzeugendensystem bilden. Dann gilt n <=m. Weiter ist b1 .. bm genau dann eine Basis, wenn n=m gilt. Je zwei Basen eines endlichen K-Vektorraums V bestehen folglich aus gleichviel Elementen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie habt ihr die Dimension definiert?
Arne87 Auf diesen Beitrag antworten »

oh tschuldige.

Also:

Die Anzahl der Vektoren einer Basis von V heißt Dimension des Vektorraums V.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arne87
Die Anzahl der Vektoren einer Basis von V heißt Dimension des Vektorraums V.
Damit kannst du doch direkt die Hinrichtung zeugen.
Für die Rückrichtung musst du dir noch die Definition einer Basis ansehen
 
 
Arne87 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich versuche. Bitte korrigiere alles was falsch sein könnte!

"=>"
Jeder Vektorraum hat eine Basis. Da dimV = n hat die Basis von V n Vektoren. Diese n Vektoren sind linear unabhängig (weil Basis). Also existiert schonmal ein linear unabhängiges System von n Vektoren in V.
Jetzt noch zu "jeweils n+1 Vektoren sind linear abhängig": Da dimV = n und die Basis n linear unabhängige Vektoren hat, würde jedes Hinzufügen eines weiteren Vektors eine lineare Abhängigkeit erzeugen. (Das ist doch keine Begründung... !?!?)


"<="
das kann ich nicht unglücklich
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arne87
Da dimV = n und die Basis n linear unabhängige Vektoren hat, würde jedes Hinzufügen eines weiteren Vektors eine lineare Abhängigkeit erzeugen. (Das ist doch keine Begründung... !?!?)
Doch, dazu gibt es sogar einen Satz der genau diese Aussage macht...

Zitat:
Original von Arne87
"<="
das kann ich nicht unglücklich
Du musst zeigen, dass diese n Vektoren eine Basis bilden
Arne87 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also:

"<="
Es existiere in V ein lin. unabhängiges System von n Vektoren und jeweils n+1 Vektoren wären linear ahängig. Damit ist dieses System ein maximales linear unabhängiges System und damit eine Basis (nach Definition der Basis). Da die Dimension definiert ist als Anzahl der Vektoren einer Basis und diese Basis n Vektoren hat folgt dimV = n.


reicht das?

sind in "=>" denn noch Fehler drin?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so Freude
Arne87 Auf diesen Beitrag antworten »

danke
smile
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