Erzeuger einer zyklischen Gruppe

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schomi Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeuger einer zyklischen Gruppe
Hallo zusammen

Ich arbeite diese Tage das erste Semester unserer Einführungsvorlesung in die Lineare Algebra auf, weil ich das Semester verpasst habe. Bisher hat das ziemlich gut geklappt. Bei der Gruppentheorie bin ich jetzt allerdings auf die erste Knacknuss gestossen.

Die Theorie habe ich soweit verstanden (denke ich), aber eine Übung macht mir dennoch Probleme:

"Welche Elemente einer zyklischen Gruppe der Ordnung sind Erzeuger?"

Folgender Hinweis wurde gegeben: Beweise die Behauptung" erzeugt , wobei "
wobei ggT für den grössten gemeinsamen Teiler steht.

Mein Ansatz:

Ann.: und damit einen Widerspruch erzeugen.
Es gibt also so, dass , wobei .
Mein Ziel ist es zu zeigen, dass ist um damit den gewünschten Widerspruch zu erhalten. Ich weiss, dass gilt, da die Ordnung der zyklischen Gruppe ist.
Also erhalte ich mit ein wenig umformen

Da gilt also .
Es folgt und weil ist, ist dies ein Widerspruch, weil dann die Ordnung der zyklischen Gruppe gleich und nicht gleich wäre.
Also erzeugt


Ja, da habe ich jetzt Probleme und finde nicht wirklich einen zufriedenstellenden Ansatz.

Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm an
Was kannst du dann über die Potenzen von aussagen?
 
 
schomi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, konnte einige Tage nicht ins Netz.

Nun, da die Gruppe die Ordnung hat, haben die Elemente der Gruppe die Form wobei und sind paarweise verschieden. Falls der Erzeuger der Gruppe ist, muss weiter gelten
.
Also würde es reichen diese Aussage zu zeigen. Ich sehe aber nicht wie mir da helfen kann.

Weitere Hinweise?

Danke
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schomi
Ich sehe aber nicht wie mir da helfen kann.

Es gilt dann für geeignete ...
schomi Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt, daran habe ich nicht gedacht.

Aber wie nützt mir das, wenn ich zeigen möchte? Ich weiss, dass es ein gibt so, dass , aber ich versuche ja zu zeigen, dass ein vielfaches von ist. Sehe den Link nicht, sorry :-/
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist unendlich viel leichter zu sehen, dass unter den gegebenen Bedingungen



für ein gewisses gilt, und das sollte ja in Hinblick auf die Behauptung reichen...
schomi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal folgendes:

Da existiert für ein beliebiges ein so, dass . Es folgt, dass weil wegen gilt .

Ich glaube, damit wäre die Behauptung gezeigt, richtig?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens kann ich deinen Schluss



überhaupt nicht nachvollziehen, zweitens wäre ja die Existenz von so einem trivial, denn ich brauch ja nur zu wählen, und drittens solltest du ja gemäß meiner Anleitung die Existenz eines zeigen, sodass gilt, also was ganz anderes...

Ich fürchte, wenn du weiter so "aus der Hüfte schießt", statt dir das einmal ordentlich zu überlegen, wird das hier nichts... unglücklich
schomi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt (gemäss Satz):
Sei die von erzeugte zyklische Gruppe. Ist die Ordnung von gleich , dann gilt und es gilt weiter also teilt .

Es ist wegen für gewisse also auch . Folglich ist ein Teiler von und somit gemäss Satz .

Aber da vermische ich und , aber ich sehe nicht wie ich das Durcheinander lösen kann.


Es ist nicht so, dass ich "aus der Hüfte schiesse", ich habe nur gerade einen riesen Knoten.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Gemäß deinem nun richtigen Schluss, gilt unter den gegeben Voraussetzungen



Da die umgekehte Inklusion trivialerweise gilt, müssen die von bzw. erzeugten Untergruppen sogar gleich sein...
schomi Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, super, danke. Jetzt ist der Groschen endlich gefallen.

smile
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