keine Konvergenz definieren

08.02.2011, 14:45

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keine Konvergenz definieren

Hi, wie kann man analog zur Epsilondefinition der Konvergenz gegen ein g eine Epsilondefinition dafür angeben, dass eine Folge nicht gegen g konvergiert?

wäre es da nicht am einfachsten, dass [/latex]\forall \Epsilon [/latex] mit "Nicht für alle Epsilon" (also noch dieser Negationsstrich vorher) zu ersetzen?
Und wäre z.B. die Definition "nicht für alle Epsilon existiert ein N(Epsilon)..." mathematisch sauber?

08.02.2011, 14:56

Airblader

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Ja, du erhälst diese Aussage (aussagen-)logischerweise dadurch, dass du die Definition einfach negierst. Statt einfach ein "nicht" davorzuknallen kannst du dieses "nicht" auch schrittweise hineinziehen (wodurch sich Quantoren natürlich ändern).

Wie man Aussagen, vor allem solche mit Existenz- und Allquantoren, negiert sollte ja bekannt sein. Wenn nicht, sowas kann man nachschlagen oder sich überlegen.

air

08.02.2011, 15:49

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ok...wobei sich das Negationssymbol dann trotzdem in der Definition wiederfinden muss, oder?

Und noch eine Frage: Dass Divergenz so definierbar ist, dass irgendwann ein M überschritten wird, ist klar. Geht es jedoch auch so:
$\begin{eqnarray*} \forall g \in \mathbb R ~~~~ \forall \epsilon > 0 ~~~~ \exists N ( \epsilon ) \in \mathbb N : | a_{n} - g | > \epsilon ~~~~ \forall n \geq N ( \epsilon ) \end{eqnarray*}$
ich weiß nicht, ob das "Für alle" irgendwann ein Problem wird, wenn die Werte beliebig groß werden (wenn die Folge divergiert, wird sie aber auch über alle Grenzen wachsen)

08.02.2011, 16:04

Airblader

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Zitat:

Original von Fragen über Fragen
ok...wobei sich das Negationssymbol dann trotzdem in der Definition wiederfinden muss, oder?

Nicht unbedingt, nein. Jedenfalls falls du das Zeichen $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ meinst. Zum Beispiel kann man $\begin{eqnarray*} \neg (x < y) \end{eqnarray*}$ ja auch als $\begin{eqnarray*} x \geq y \end{eqnarray*}$ schreiben, da taucht kein Negationszeichen mehr auf.

Deine Formulierung danach stimmt nicht. Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n := (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist z.B. divergent, passt aber nicht zu der Formulierung (wähle g=0 und e=2). Ich wiederhole mich:

Zitat:

Original von Airblader
Wie man Aussagen, vor allem solche mit Existenz- und Allquantoren, negiert sollte ja bekannt sein. Wenn nicht, sowas kann man nachschlagen oder sich überlegen.

Überlege dir also erstmal, wie man korrekt eine Aussage $\begin{eqnarray*} \neg \forall_{x \in X} H(x) \end{eqnarray*}$ "umformt", so dass das Negationszeichen verschwindet. Dies kannst du auch ganz anschaulich machen, indem du dir überlegst, was das Gegenteil davon ist, dass etwas für alle x gilt.

air

08.02.2011, 22:31

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Zitat:

Original von Airblader

Deine Formulierung danach stimmt nicht. Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n := (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist z.B. divergent, passt aber nicht zu der Formulierung (wähle g=0 und e=2). Ich wiederhole mich:

oh ja stimmt, ich habe mich da zu sehr auf "Konvergieren" gegen Unendlich eingeschossen.
würde die Formulierung für diesen Spezialfall eigentlich stimmen?

Zu der Negation von Quantoren habe ich mich mal belesen, bei übersichtlichen Beispielen ist das auch sehr gut nachvollziehbar.

Grob gesagt bedeutet das für meine Negation des Epsilon-Definition der Konvergenz also:

Man zieht die Negation durch, dort wo sie "vorbeikommt" tauscht man jeweils $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ und andersherum genauso.
Beim Relationszeichen angekommen, muss man diese Aussage auch noch negieren, indem man aus dem kleiner ein größer gleich macht.

08.02.2011, 22:35

Airblader

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Zitat:

Original von Fragen über Fragen
würde die Formulierung für diesen Spezialfall eigentlich stimmen?

Ja, dafür sollte es stimmen.

Zitat:

Man zieht die Negation durch, dort wo sie "vorbeikommt" tauscht man jeweils $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ und andersherum genauso.
Beim Relationszeichen angekommen, muss man diese Aussage auch noch negieren, indem man aus dem kleiner ein größer gleich macht.

Völlig korrekt. Freude

air

08.02.2011, 22:36

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ok danke dir Augenzwinkern

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