lognormal-Verteilung

08.02.2011, 16:33

Hemi

lognormal-Verteilung

Servus,

ich muss für ein kleines Computerprogramm eine log-Normatverteilung simulieren.
Das wollte ich mit der Zwölferregel machen:
1) Ich summiere 12 unabhängige Zufallsvariablen auf
2) rechne (Summe - 6)* Standartabweichung + Erwartungswert.
--> dann habe ich eine N(Erwartungswert, Standartabweichung)- verteilte Zufallsvariable (oder nicht)?

Wie komme ich denn dann aif die log-normalverteilte ZV. Ich habe gelesen, dass eine Zufallsvariable X log-normalverteilt nach Erwartungswert e und Standartabweichung s ist, wenn Y = log X normalverteilt nach denselben Parametern ist.
Muss ich also einfach den log meiner Zufallsvariablen nehmen, oder muss ich Erwartungswerte oder Standartabweichung noch anpassen?

Danke schon mal

08.02.2011, 17:20

René Gruber

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Zitat:

Original von Hemi
Ich habe gelesen, dass eine Zufallsvariable X log-normalverteilt nach Erwartungswert e und Standartabweichung s ist, wenn Y = log X normalverteilt nach denselben Parametern ist.

Richtig (abgesehen von der Rechtschreibung von Standard).

Zitat:

Original von Hemi
Muss ich also einfach den log meiner Zufallsvariablen nehmen

Anders herum: Du hast $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ simuliert, willst aber $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} X = e^Y \end{eqnarray*}$ ...

08.02.2011, 18:23

Hemi

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stimmt, (auch das mit der Rechtschreibung).

Wenn ich nun also eine log-normalverteilte ZV mit Erwartungswert 4 und Standartabweichung 16 simulieren will kann ich also eine ZV die nach N(4,16) verteilt ist von dem Programm produzieren lassen (zum Beispiel 3) und e^3 ist dann das von mit gewünschte Ergebnis.

08.02.2011, 19:14

Hemi

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... oder (ich habe gerade noch weitergelesen):
Wenn ich das gerade richtig verstanden habe habe ich so zwar eine lognormalverteilte ZV, die nach den Parametern mü und sigma verteilt ist, diese sind aber nicht Erwartungswert und Varianz.

Für einen bestimmten Erwartungswert mü und Varianz sigma muss ich also meine Werte wie folgt umändern?

Wenn meine lognormalverteilte ZV nun den Erwartungswerte mü =4 und die Varianz sigma = haben soll muss ich eine normalverteilte ZV generieren, wobei ich die Parameter wie folgt berechnen muss
Neues sigma:
$\begin{eqnarray*} sigma^2 = ln (\frac{Var}{E^2} +1) \end{eqnarray*}$ (wobei Var = 16 und E = 4)
und $\begin{eqnarray*} mu = ln (E^2 * \sqrt {\frac{1}{Var + E^2} } ) \end{eqnarray*}$ mit denselben Werten?

und dann erst ((Summe - 6) * neues sigma + neuen Erwartungswert) = ZV. rechnen und im letzten Schritt exp (ZV)

08.02.2011, 19:35

René Gruber

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Zitat:

Original von Hemi
Wenn ich das gerade richtig verstanden habe habe ich so zwar eine lognormalverteilte ZV, die nach den Parametern mü und sigma verteilt ist, diese sind aber nicht Erwartungswert und Varianz.

So ist es.

Zitat:

Original von Hemi
Wenn meine lognormalverteilte ZV nun den Erwartungswerte mü =4 und die Varianz sigma = haben soll muss ich eine normalverteilte ZV generieren, wobei ich die Parameter wie folgt berechnen muss
Neues sigma:
$\begin{eqnarray*} sigma^2 = ln (\frac{Var}{E^2} +1) \end{eqnarray*}$ (wobei Var = 16 und E = 4)
und $\begin{eqnarray*} mu = ln (E^2 * \sqrt {\frac{1}{Var + E^2} } ) \end{eqnarray*}$ mit denselben Werten?

und dann erst ((Summe - 6) * neues sigma + neuen Erwartungswert) = ZV. rechnen und im letzten Schritt exp (ZV)

Ja genau. Du solltest auch symbolisch genauer unterscheiden zwischen Erwartungswert und Varianz deiner Zufallsgröße einerseits sowie den Verteilungsparametern wie $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma^2 \end{eqnarray*}$ andererseits. Bei der Normalverteilung mögen die übereinstimmen, bei der Lognormalverteilung aber eben nicht. D.h., wenn man sich zu eng an solche Identifikationen " $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist immer Erwartungswert, und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ immer die Varianz" klammert, dann kann das zu Verwirrungen führen. Es ist also auch besser, wenn du bei Erwartungswert und Varianz IMMER die Zufallsgröße mit angibst, auf die sich das bezieht, im obigen Fall also $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = \operatorname{var}(Y) = \ln\left(\frac{\operatorname{var}(X)}{(E(X))^2}+1 \right) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \mu = E(Y) = \ln\left( (E(X))^2 \cdot \sqrt {\frac{1}{\operatorname{var}(X) + (E(X))^2}} \right) \end{eqnarray*}$ .

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