Stetigkeit Ableitungsfunktion

08.02.2011, 20:57	Spätzünder	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Ableitungsfunktion Meine Frage: Hallo zusammen, ich soll zeigen, dass für eine differenzierbare Funktion f: I -> R (I ein Intervall) f´(I) ein Intervall ist. Meine Ideen: Also f muss ja um in diesem Intervall differenzierbar zu sein auch stetig sein. Meine konkrete Frage ist ist dann auch f´ für dieses Intervall immer stetig? Dann wäre die Aufgabe mittels Zwischenwertsatz einfach zu lösen.Und wenn ja wie zeige ich, dass f´ immer stetig ist?
08.02.2011, 22:04	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehme zum Beispiel $\begin{eqnarray} I=[-1,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: I\to\mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} x\mapsto\begin{cases}-1\quad x\leq 0 \\ 1 \quad x>0\end{cases} \end{eqnarray}$ . Diese Funktion ist sicher nicht stetig und es gilt $\begin{eqnarray} g([-1,1])=\{\pm1\} \end{eqnarray}$ , also insbesondere kein Intervall. Für $\begin{eqnarray} f: [-1,1]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ wähle $\begin{eqnarray} x\mapsto\int\limits_{-1}^xg(t)\,\dd t \end{eqnarray}$ , also differenzierbar und $\begin{eqnarray} f'=g \end{eqnarray}$ .
08.02.2011, 22:21	Spätzünder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, so kanns also nicht funktionieren. Aber wie kann ich es dann zeigen?
09.02.2011, 00:06	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Garnicht, denn das ist ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung.
09.02.2011, 10:00	Spätzünder	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aufgrund de Fragestellung war ich total darauf versteift, dass es funktionieren müsste. Danke für die Hilfe.
09.02.2011, 10:20	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke, dass die obige Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar ist in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ (der Integrand ist dort nicht stetig)
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09.02.2011, 10:28	Spätzünder	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt f müsste aussehen wie die Betragsfunktion.
09.02.2011, 10:54	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
es stimmt schon, dass es differenzierbare Funktionen gibt, deren Ableitung nicht stetig ist, z.B. $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\begin{cases} x^2\sin\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr) &\text{für $x\neq 0$} \\ 0 & \text{für $x=0$}\end{cases} \end{eqnarray}$ Dennoch gilt der Zwischenwertsatz für die Ableitung.
09.02.2011, 11:02	Spätzünder	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie? Der Zwischenwertsatz verlangt doch, dass f stetig ist damit f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) (Inzervallgrenzen) annimmt.
09.02.2011, 11:37	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
hier findest du mehr dazu: Zwischenwertsatz von Darboux
09.02.2011, 22:56	Spätzünder	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass hat mir sehr geholfen.

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