Bedingte Verteilungsdichte (Gleichverteilung)

09.02.2011, 09:22

AndyE

Bedingte Verteilungsdichte (Gleichverteilung)

Hallo zusammen, Wink

ich benötige für weitere Berechnungen die bedingte Verteilungsdichte einer stetigen Gleichverteilung unter der Bedingung X>a in [0,1), sprich $\begin{eqnarray*} f_{X|X>a}(z) \end{eqnarray*}$ . Leider kann ich diese nicht wirklich ermitteln. unglücklich

Allgemein habe ich ja für eine gleichverteilte Zufallsvariable in [0,1) folgendes:

$\begin{eqnarray*} f_{X}(x)= \begin{cases} 1 \text{ für }0\leq x<1 \\ 0 \text{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir auch sicher, dass ich irgendwo verwenden muss, dass $\begin{eqnarray*} f_{X|Y=y}(z)= \frac{f_{Y|Z}(y,z)}{f_{Y}(y)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn ich das von mir Gesuchte jetzt einfach stupide einsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f_{X|X>a}(z)=\frac{f_{X|Z}(y,z)}{f_{X}(x)} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit noch?
Was ist dann mein Z?
Ich bin total verwirrt Erstaunt2

Danke euch!

AndyE

09.02.2011, 10:27

René Gruber

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Gehe lieber über die bedingte Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} F_{X|X>a}(x) = P(X\leq x \bigm| X>a) = \frac{P(a<X\leq x)}{P(X>a)} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Interessant ist sicher nur der Fall $\begin{eqnarray*} 0\leq a < 1 \end{eqnarray*}$ , rechne da $\begin{eqnarray*} F_{X|X>a}(x) \end{eqnarray*}$ gemäß (*) aus, anschließend kannst du es zur Gewinnung der Dichte nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten.

09.02.2011, 10:49

AndyE

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Danke dir für deine Antwort!

Stimmt das dann so?

$\begin{eqnarray*} P(X>a)=\int_a^1 \! 1 \, dx =1-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(a<X\leq x)=\int_a^x \! 1 \, dx=x-a \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} F_{X|X>a}(x) = \frac{x-a}{1-a} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} f_{X|X>a}(x) = \frac{dF_{X|X>a}(x)}{dx} = \frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$

09.02.2011, 11:29

René Gruber

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Zitat:

Original von AndyE
$\begin{eqnarray*} P(a<X\leq x)=\int_a^x \! 1 \, dx=x-a \end{eqnarray*}$

Vorsicht: Das gilt natürlich nur für $\begin{eqnarray*} a \leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten haut es aber so ziemlich hin.

09.02.2011, 13:47

AndyE

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Dankeschön!!!!

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