Isomorphie

09.02.2011, 16:00

Gast11022013

Isomorphie

Meine Frage:
Ich habe mal eine ganz blöde Frage.

Zeige: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2\cong S_2\cong C_2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Zu zeigen ist ja die Isomorphie zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ und zwischen $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2=\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_2=\left\{id, \pi\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} id: 1\mapsto 1, 2\mapsto 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi:1\mapsto 2, 2\mapsto 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ zyklische Gruppe mit $\begin{eqnarray*} C_2=\left\{x^0=e,x^1\right\} \end{eqnarray*}$

EDIT:

Hängt das einfach nur damit zusammen, dass alle drei Mengen jeweils aus zwei Elementen bestehen und man daher jedem Element genau ein Element in den anderen Mengen zuordnen kann?

Also man kann z.B. definieren:

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb Z_2\to S_2, 0\mapsto id, 1\mapsto \pi \end{eqnarray*}$ und hat so eine bijektive Abbildung?

09.02.2011, 16:43

Math1986

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Dennis2010
Hängt das einfach nur damit zusammen, dass alle drei Mengen jeweils aus zwei Elementen bestehen und man daher jedem Element genau ein Element in den anderen Mengen zuordnen kann?

Also man kann z.B. definieren:

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb Z_2\to S_2, 0\mapsto id, 1\mapsto \pi \end{eqnarray*}$ und hat so eine bijektive Abbildung?

Dass es auch wirklich ein nIsomorphismus ist muss noch gezeigt werden, aber prinzipiell ja Freude

09.02.2011, 17:12

Gast11022013

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Wäre die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi':\mathbb Z_2\to S_2, 0\mapsto \pi, 1\mapsto id \end{eqnarray*}$ auch Isomorphismus, sprich: Ist es egal, wie man konkret die Elemente einander zuordnet, solang jedes Element der Zielmenge getroffen wird und zwar genau nur einmal?

09.02.2011, 17:14

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Wäre die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi':\mathbb Z_2\to S_2, 0\mapsto \pi, 1\mapsto id \end{eqnarray*}$ auch Isomorphismus, sprich: Ist es egal, wie man konkret die Elemente einander zuordnet, solang jedes Element der Zielmenge getroffen wird und zwar genau nur einmal?

Nein, da ein Isomorphismus die Einselemente aufeinander abbilden mus (beweise das selbst!)
Schau dir die Definition eines Isomorphismus nochmal an und beweise dass erste Abbildung auch wirklich einer ist

09.02.2011, 17:21

Gast11022013

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Ja, stimmt ja! Vielen Dank für den Hinweis.

Ein Gruppenisomorphismus ist ja ein bijektiver Gruppenhomomorphismus und für diesen gilt ja u.a. $\begin{eqnarray*} \phi(e)=e' \end{eqnarray*}$ , wobei e das neutrale Element der einen Gruppe und e' das Neutralelement der andere Gruppe ist, auf die abgebildet wird.

Nochmal ein anderes Beispiel (bevor ich das oben beweisen möchte):

Wieso ist $\begin{eqnarray*} C_2\times C_2 \end{eqnarray*}$ nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ ... verwirrt

09.02.2011, 17:31

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010

Wieso ist $\begin{eqnarray*} C_2\times C_2 \end{eqnarray*}$ nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ ... verwirrt

Weils keinen Isomorphismus gibt :P

Der einfachste Weg das zu zeigen ist sich anzuschauen welche dieser Gruppen zyklisch ist und welche nicht, dann gibts da auch nen Satz

09.02.2011, 17:38

Gast11022013

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Mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} C_4=\left\{e,x,x^2,x^3\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_2\times C_2=\left\{e,x\right\}\times \left\{e,x\right\}=\left\{(e,e),(e,x),(x,e),(x,x)\right\} \end{eqnarray*}$ .

Es will in meinen Kopf nicht rein. Man könnte doch jetzt jedem Element ein Element zuordnen... wieso kann man keinen Isomorphismus dann finden...

[Wieso will ich das nicht verstehen...]

09.02.2011, 17:46

Leopold

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Isomorphie ist ja mehr als bijektive Abbildung. Es muß auch die Struktur erhalten bleiben. Im Prinzip ist es so: Wenn du eine Gruppentafel für die beiden Gruppen hast und bei der Bijektion die eine Gruppentafel in die andere übergeht, dann sind die Gruppen isomorph. Wenn es keine Bijektion gibt, so daß die eine Gruppentafel in die andere übergeht, dann sind die Gruppen nicht isomorph.
Bei isomorphen Gruppen müssen sich auch die Ordnungen der Elemente entsprechen. Jetzt bestimme die Ordnungen der Elemente von $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ und der von $\begin{eqnarray*} C_2 \times C_2 \end{eqnarray*}$ .

09.02.2011, 18:07

Gast11022013

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Du meinst, dass die Homomorphie-Eigenschaften nicht erfüllt sind?

[Isomorphismus=bijektiver Homomorphismus, d.h. zu untersuchen: bijektiv? Homomorphismus?]

09.02.2011, 18:10

Leopold

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Ja, Homomorphie bedeutet Strukturerhaltung.

09.02.2011, 18:10

Gast11022013

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Wie könnte man denn bei dem Beispiel zeigen, dass die Strukturerhaltung nicht gilt?

09.02.2011, 19:00

lgrizu

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In dem man, wie bereits gesagt wurde, die Ordnung der Elemente betrachtet.

Sei g ein Element aus der Gruppe G mit der Ordnung m und f ein Isomorphismus von G nach H mit f(g)=h, dann muss doch gelten:

$\begin{eqnarray*} f(g^m)=f(e_G)=e_H \end{eqnarray*}$ . Fernerhin muss gelten $\begin{eqnarray*} f(g^m)=h^m \end{eqnarray*}$ , damit ist aber $\begin{eqnarray*} h^m=e_H \end{eqnarray*}$ , also muss h die gleiche Ordnung in H haben, wie g in G.

Anmerkung: $\begin{eqnarray*} e_G \end{eqnarray*}$ bezeichnet das neutrale Element in G, $\begin{eqnarray*} e_H \end{eqnarray*}$ das neutrale Elemnt in H.

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