Durch äußeres Normalenfeld induzierte Orientierung (Gauss) |
| 09.02.2011, 16:15 | acki_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Durch äußeres Normalenfeld induzierte Orientierung (Gauss) Habe eine kurze Frage: Komme mit dem Integralsatz von Gauß eigentlich gut zurecht, frage mich aber immer, inwiefern das äußere Normalenfeld eine Orientierung vom Rand induziert - das verstehe ich nicht so ganz. Sagen wir, wir haben eine halbe dreidimensionale Kugel A: x^2+y^2+z^2<=4 und x>=0 und haben dann ein äußeres Normalenfeld n(x,y,z) gegeben mit z.B. n(0,0,0)=(-1,0,0) und n(2,0,0)=(1,0,0) Letztendlich will ich das Integral vom Rand von A über ein Vektorfeld F * dem Normalenfeld haben, wofür ich den Satz von Gauß verwende und das dann über die Divergenz mache und von der Orientierung irgendwie verschont bleibe. Wenn da aber irgendwann mal die "Rückrichtung" gefragt wäre, stünde ich aber glaube ich doof da, weil ich keine Ahnung habe, inwiefern der Rand orientiert sein soll. Was sagt das Normalenfeld über die Orientierung vom Rand aus? Inwiefern INDUZIERT das die Orientierung des Rands. Konnte ich irgendwie nirgendwo so genau finden und kann mir grad nix drunter vorstellen. DANKE! schönen Gruß, acki |
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| 09.02.2011, 17:02 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Durch äußeres Normalenfeld induzierte Orientierung (Gauss) Hallöchen, eine gute Frage, die ich mir in der Ana III oft gestellt habe - und erst mit dem Wissen der Differentialgeometrie konnte ich mir die Frage beantworten. Und hoffentlich auch nun dir: Dieses n ist eine Abbildung, die jedem Punkt seinen Normalenvektor zuordnet. Die Abbildung nennt ihr Normalenfeld. Ein anderer Name dafür ist Gaußabbildung oder Orientierung. Einfach ein Name. Und insofern orientiert das Normalenfeld den Rand. Noch dazu gibt es ja zwei mögliche Vektoren, die man als Normalenvektoren nehmen könnte. Einer zeigt nach innen, einer nach außen. Das Normalenfeld sagt dir, welchen der beiden man nehmen soll. Vielleicht schreibt ja auch noch jemand etwas anderes dazu, aber ich merke mir das immer so. Vielleicht hilft es dir weiter. |
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| 09.02.2011, 17:25 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, hier stimme ich dir nicht ganz zu. Ein bisschen mehr als "bloss ein Name" steckt schon dahinter. Mal angefangen mit Vektorräumen: Eine Orientierung eines reellen, endlichdimensionalen Vektorraums V ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Basen von V. Sind zwei Basen und ist die lineare Abbildung mit für alle i, so nennt man die beiden Basen gleichorientiert, falls . Somit bestimmt eine willkürlich gewählte Basis eine Orientierung auf dem Vektorraum, indem man alle zu dieser Basis gleichorientierten Basen orientiert nennt. Hat man nun eine Mannigfaltigkeit M, so kann man dem entsprechend für jeden Punkt p eine Orientierung auf dem Tangentialraum bei p wählen. Ist die Mannigfaltigkeit nun speziell eine Hyperebene im euklidischen Raum und hat man ein Normalenfeld, so erzeugt dieses Normalenfeld eine kanonische Orientierung auf der Mannigfaltigkeit. Eine Basis vom Tangentialraum nennt man dann sinnigerweise orientiert, falls orientiert ist in (mit der Standardorientierung). Da es genau zwei mögliche Orientierungen gibt, sieht man auch, dass das Negative des Normalenfeldes die andere Orientierung induziert. |
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| 09.02.2011, 17:37 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Ergänzung, gonnabphd. Da war doch etwas mit Orientierung von Vektorräumen, ne? 
LinA ist schon länger her ... Dann sagen wir mal: Für's schnelle Merken ist das "einfach" ein Name. |
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| 09.02.2011, 18:15 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich würd's mir auch einfach merken. Solange man nicht sonderlich viel von den Verbindungen zwischen - Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten - Orientierbarkeit von Mannigfaltigkeiten - Differentialformen/Äusseren Produkten/Tensorprodukten gehört hat, wird einem das wohl auch nicht viel bringen, wenn man weiss, dass das Normalenfeld eine Orientierung induziert. |
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| 09.02.2011, 18:16 | acki_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, Vielen Dank schonmal. Ich schließe daraus, dass es für meine Ana3 Klausur die demnächst ansteht nichts weltbewegendes ist, denn wenn ich den Satz von Gauß anwenden will, so kann ich mir die Orientierung im Prinzip selber "aussuchen" - bzw. bei den gestellten Aufgaben ist eigentlich nur eine Orientierung sinnvoll, wenn man z.B. eine Kugel betrachtet und das ÄUSSERE Normalenfeld vorgegeben wird. Soweit kann ich den beiden Darstellungen von Euch was abgewinnen - kann aber noch eine Sache nicht ganz einordnen, wo ihr mir vielleicht noch helfen könnt, das wäre super: Gehe hier grad eine alte Übungsaufgabe durch, wo der Fall ein bischen anders ist und zwar wird hier die obere Schale von einem Hyperboloid betrachtet, die bei z>=1 anfängt und ab z>2 abgeschnitten wird, also 1<=z<=2. Also ungefähr wie hier http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co...yperboloid2.png Jetzt soll letztendlich berechnet werden und man soll den Satz von Stokes anwenden - soweit so gut, aber vorher soll man noch die vom Normalenfeld von H induzierte Orientierung der Randkurve von dem Hyperboloid H angeben. Die Randkurve ist aber ja nur der Schalenrand oben, also der Kreis bei z=2. Jetzt haben die hier in der musterlösung den Kreis gezeichnet und einen Pfeil der AUF dem Kreis liegt und eine Rechtsdrehung mitmacht. Es ist kommentiert mit "Rechtsschraubendrehung" - das ist offensichtlich die Orientierung des Rands. Und jetzt die konkrete Frage: Woher weiß ich dass es eine Rechtsschraubendrehung sein muss? Sehr vielen Dank für Eure Hilfe! Schönen Gruß! |
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| 09.02.2011, 18:38 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In meinem Differentialgeometriebuch wird die Orientierung des Randes als die vom nach innen zeigenden (in die Mannigfaltigkeit) Normalenvektor induzierte Orientierung definiert. Du solltest das allerdings lieber nochmal in deinen Unterlagen suchen... Ganz 100%-ig sicher bin ich mir hier nicht. |
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| 09.02.2011, 18:40 | acki_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm was hieße "innen" für dich in Bezug auf mein Randbeispiel mit dem hyperboloid? danke! |
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| 09.02.2011, 19:06 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Tangentenvektor normal zum Rand und mit negativer z-Richtung... |
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| 09.02.2011, 19:19 | acki_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay und genau da ist bei mir noch ein Knackpunkt: Wenn ich ne Kugel K und dann die Sphäre als Rand von K habe, ist die Orientierung klar - die ist quasi nach außen (zumindest in meinen Aufgaben), also der Normalenvektor <- senkrecht zur Sphäre nach außen(bei mir war das zumindest immer so). Wenn ich aber ne Fläche wie beim Hyperboloiden habe, dann ist der Rand ja eben nur der Kreis - der Schalenrand. Und hier ist die Orientierung auf einmal als Tangentialvektor eingezeichnet - okay, hier kann man nix senkrechtes einzeichnen, aber so richtig habe ich den Sinn noch nicht verstanden..... Was heißt in dem SInne Tangentialvektor NORMAL zum Rand? und mit negativer z-Richtung. muss ich leider nochmal doof nachfragen, sorry - aber will das endlich mal verstehen Vielen lieben Dank! |
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| 09.02.2011, 20:12 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Orientierung einer 1-dimensionalen M'keit ist halt durch die "Richtung" der Basis gegeben (es gibt bloss entweder so oder anders rum - in positive Richtung oder in negative Richtung). Für 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten kann man naürlich anstelle eines Normalenfeldes auch genauso gut gleich die Orientierung in Form einer Basis angeben (das ist halt dann an jedem Punkt ein Vektor und es gibt nur entweder links rum oder rechts rum).
Orthogonal auf dem Rand stehend. |
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