Unendlich durch 2?

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09.02.2011, 19:20	cadillac	Auf diesen Beitrag antworten »
l'hospital / Grenzwerte / Unendlich durch 2? Hi, Ich habe 2 Fragen: 1. welche Regeln gelten denn wenn man mit unendlich rechnet. Könnt ihr einige nennen. z.B. was wenn ich mit unedlich teile entweder im Zähler oder in nenner. Und was passiert wenn ich damit multiplieziere? 2. Siehe gelben Kasten1: Wenn ich unendlich in das x einsetze warum kommt unendlich raus? 3. Siehe Kasten2: Warum ist da nun nicht mehr unendlich durch unendlich? hier haben die ja 2/2 raus. 4. Also das ist die einzige aufgabe, die im Buch aus 2 Teilen besteht. Hier hat man unten angefangen was von 2 x l'hospital zu schwafeln. Warum machen die das? Das 2. Bild zeigt wie die Aufgaben i.d.R. sind
09.02.2011, 20:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Vielleicht gewinnst Du eine bessere Vorstellung vom Begriff der Unendlichkeit, wenn Du mal daran denkst, wie kleine Kinder Zahlen benennen. Es gibt nur ein paar (meistens 1-10) und alle anderen Zahlen sind "große Zahlen". Im Prinzip ist die Unendlichkeit nichts anderes als diese "große Zahl", nur dass man den Zahlenbereich davor nicht auf 1-10 oder 1-100 einschränken kann. Nehmen wir mal den Ausdruck $\begin{eqnarray} 3\cdot \infty +5 \end{eqnarray}$ Hierbei haben wir eine sehr große Zahl $\begin{eqnarray} (\infty) \end{eqnarray}$ und verdreifachen sie. Das Ergebnis ist natürlich immer noch sehr groß (größere Zahlen kennen wir ja nicht). Anschließend addieren wir zu dieser Zahl fünf hinzu. Da wir - wie gesagt - keine größere Zahl kennen, ist das Ergebnis also wieder unendlich. Anders sieht es bei dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ aus. Hier teilen wir eine sehr große Zahl durch eine andere sehr große Zahl. Auch wenn man geneigt ist, zu sagen, dass das Ergebnis eins sein müsste, stimmt das leider nicht immer, denn wer sagt uns, dass die große Zahl im Nenner genau so groß wie die im Zähler ist? Wir unterscheiden ja nicht zwischen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n\cdot \infty \end{eqnarray}$ . 2. Sollte mit der eben geäußerten Vorstellung von Unendlich klar sein. 3. Setz doch mal -1 im Zähler und im Nenner ein. 4. Um zu einer Aussage zu kommen? Solange wir einen Bruch des Typs $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ haben, können wir nicht ohne weiteres sagen, was das Ergebnis ist (Siehe Anmerkung zu 1.). Erst nach der zweiten Anwendung haben wir einen Bruch, dessen Wert wir angeben können.
09.02.2011, 20:40	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: l'hospital / Grenzwerte / Unendlich durch 2? Edit: Zu spät. Viel Spaß, Helferlein. Ibn Batuta
09.02.2011, 21:50	cadillac	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, 1-3 ist nun klar. Danke Aber irgendwie verstehe ich immer noch nicht wie man dann weiter macht. was bedeutet den 2xl'hospital? Ich multipliziere die 2 mit was? Und später ist doch wieder die selbe Situation wie in der Aufgabe oben. Wieso setze ich nicht unendlich ein. Der steht ja immer noch unter dem Limes. Was machen die denn da um auf 2/2 zu kommen? Da gibt es sicher irgendeine Regel ?
09.02.2011, 22:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital besagt, dass Du Grenzwerte der Form $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ durch den Quotienten ersetzten kannst, der durch Ableiten des Zählers und des Nenners entsteht. Sollte da wieder derselbe Typ rauskommen, wird das ganze halt noch einmal durchgeführt und zwar solange, bis ein Bruch entsteht, der nur noch höchstens ein $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ enthält. Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^2}{x^3-x^2} \end{eqnarray}$ Nach der ersten Anwendung von L'Hospital entsteht $\begin{eqnarray} \frac{2x}{3x^2-2x} \end{eqnarray}$ , was immer noch dem Typ $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ entspricht. Also wird ein zweites Mal L'Hospital angewand: $\begin{eqnarray} \frac{2}{6x-2} \end{eqnarray}$ Nun sind wir am Ziel: Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray} \frac{2}{\infty} = 0 \end{eqnarray}$
10.02.2011, 15:21	cadillac	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach der ersten Anwendung von L'Hospital entsteht $\begin{eqnarray} \frac{2x}{3x^2-2x} \end{eqnarray}$ , was immer noch dem Typ $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ entspricht. Das habe ich nicht ganz verstanden. Wieso entspricht dass denn erneut unendlich / unendlich? Weil man bei der 1. Ableitung im x des zählers und nenners wieder unendlich einsetzen kann? Und in der 2. Ableitung ist im Nenner ja keine Zahl also kein unendlich? Ich glaube ich habe es gleich. Du musst nur nicht so viel Voraussetzen Du hast die Regel nicht "einfach" genug erklärt glaube ich.
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10.02.2011, 16:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Na weil im Zähler $\begin{eqnarray} 2\cdot\infty \end{eqnarray}$ steht und im Nenner $\begin{eqnarray} 3\cdot\infty\cdot\infty-2\cdot\infty \end{eqnarray}$ . Beides ergibt wieder unendlich. Erst nach der zweiten Anwendung von l'hospital steht im Zähler 2, im Nenner $\begin{eqnarray} 6\cdot\infty-2 = \infty \end{eqnarray}$ .
10.02.2011, 19:10	cadillac	Auf diesen Beitrag antworten »
Du Helferlein, die 2 unteren Beispielen habe ich ja verstanden. Es geht hier ausschließlich um das 3. Beispiel bwz. das erste Bild. Kannst du darauf eingehen. Weil ich sonst nicht weiß wie du auf 6 kommst. Und was bedeutet denn 2xl'hospital im ersten Bild? dass man die l'hospital Regel zum 2. Mal anwendet? Und was besagt genau die Regel von l'hospital in einfachen Worten. Weil ich kann es rechnen, aber ich weiß nicht wann ich beginne die hospital regel anzuwenden und wann die aufhört. Die ist ja nicht nur aktiv wenn em unendlich geht, wie ich merke.
10.02.2011, 21:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eigentlich habe ich mich bislang nur auf mein Beispiel bezogen, was ähnlich zu deiner Aufgabe ist. Mit 2x l'hospital ist gemeint, dass die Regel zweimal angewendet wird. Dies ist - wie ja auch schon gesagt - notwendig, um eine der beiden unendlich Terme aus dem Bruch rausschmeissen zu können. Die Regel wendest Du immer dann an, wenn du einen Grenzwert der Form $\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} \; mit \; f(x)\rightarrow \infty \; und \; g(x)\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} \; mit \; f(x)\rightarrow 0 \; und \; g(x)\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ bestimmen willst. Du ersetzt den Term dann durch $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}$ usw. bis schließlich entweder der Zähler oder der Nenner (oder beide) nicht mehr gegen unendlich streben (bzw. im zweiten Fall der Nenner nicht mehr gegen 0). Der Grenzwert, der sich daraus ergibt ist dann auch der Grenzwert des Anfangterms. Beispiele wären $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{2x^2-4} \quad oder \quad \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^3-x} \quad oder \quad \lim_{x \to \pi} \frac{sin(x)}{cos(x)+1} \end{eqnarray}$
11.02.2011, 13:34	cadillac	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nun habe ich es verstanden! Sag mal kann man sich hier nicht dauerhaft einloggen. In anderen Boards gibt es einen Kasten wenn man sich zu ersten man einloggt der besagt "eingeloggt bleiben". Der erstellt dann auch ein Cookie.
11.02.2011, 13:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal im Profil unter Einstellungen. Da geht's.

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