Eindeutigkeit inverser Elemente

09.02.2011, 19:27

Gast11022013

Eindeutigkeit inverser Elemente

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass in einer Gruppe das neutrale Element und die inversen Elemente eindeutig bestimmt sind.

Meine Ideen:
I. Eindeutigkeit der inversen Elemente

Sei $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ beliebiges Element der Gruppe G.
Sei a das zu g inverse Element.
Angenommen, auch b ist zu g inverses Element.

$\begin{eqnarray*} ga=gb \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow gab^{-1}=g\Leftrightarrow ab^{-1}=e\Leftrightarrow a=eb=b \end{eqnarray*}$

Alternativ:
$\begin{eqnarray*} b=eb=(ag)b=a(gb)=ae=a \end{eqnarray*}$

II. Eindeutigkeit des inversen Elements:
Sei e das inverse Element. Angenommen, e' ist auch inverses Element in der Gruppe G.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} e'=e'e=e \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage ist, ob dies alles korrekt ist.

09.02.2011, 19:34

Math1986

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RE: Eindeutigkeit inverser Elemente

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Ideen:
I. Eindeutigkeit der inversen Elemente

Sei $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ beliebiges Element der Gruppe G.
Sei a das zu g inverse Element.
Angenommen, auch b ist zu g inverses Element.

$\begin{eqnarray*} ga=gb \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow gab^{-1}=g\Leftrightarrow ab^{-1}=e\Leftrightarrow a=eb=b \end{eqnarray*}$

Alternativ:
$\begin{eqnarray*} b=eb=(ag)b=a(gb)=ae=a \end{eqnarray*}$

soweit richtig

Zitat:

Original von Dennis2010
II. Eindeutigkeit des inversen Elements:
Sei e das inverse Element. Angenommen, e' ist auch inverses Element in der Gruppe G.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} e'=e'e=e \end{eqnarray*}$ ..

Du willst wohl die Eindeutigkeit des neutralen Elementes zeigen, das ist richtig

09.02.2011, 19:37

Gast11022013

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RE: Eindeutigkeit inverser Elemente
Oh, ja... das sollte der Beweis der Eindeutigkeit des neutralen Elements sein.

09.02.2011, 19:38

Elvis

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@Dennis2010
Bei Teil I. finde ich die Alternative wesentlich besser.
Wenn du allerdings eine Kürzungsregel in Gruppen hast, kannst du auch sofort schließen $\begin{eqnarray*} ga=gb\Rightarrow a=b \end{eqnarray*}$
oder : $\begin{eqnarray*} ga=gb\Rightarrow g^{-1}ga=g^{-1}gb\Rightarrow a=b \end{eqnarray*}$

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