Lokale und globale Extremalstellen

10.02.2011, 19:01	jockijo	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale und globale Extremalstellen Hoi, wir sollen die lokalen und globalen Extremalstellen, Wendepunkte bestimmen und die Funktion auf Monotonie und Kovexität, Konkavität überprüfen. Die Funktion ist $\begin{eqnarray} f(x) = ln(x+1)-x+\frac{x^{2} }{2} -\frac{x^{3} }{3} \end{eqnarray}$ Zuerst einmal habe ich mir die Extremalstellen angeschaut. Hierfür gilt ja für lokale Extremalstellen, dass die erste Ableitung von f Null ist. Ist mit diesem x-Wert die 2. Ableitung größer Null, dann ist es ein lokales Minimum, ist es kleiner Null, ist es ein lokales Maximum. Also habe ich die ersten 2 Ableitungen ermittelt (Wusste nicht, wie ich "f strich" schreiben soll, deshalb schreib ichs immer dazu. 1. Ableitung: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{-x^{3} }{x+1}=0 <=> x_{1}=0 \end{eqnarray}$ , da nur der Zähler Null werden kann 2. Ableitung: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{-2x^{3}-3x^{2} }{(x+1)^{2} } \end{eqnarray}$ Jetzt setze ich mein ermitteltes $\begin{eqnarray} x_{1}=0 \end{eqnarray}$ in die Zweite Ableitung rein und komme auf Null. Jetzt habe ich ein Problem, es soll doch ein Extrempunkt sein, und die 2. Ableitung beschreibt ja die Krümmung, also hat f an der Stelle $\begin{eqnarray} x_{1}=0 \end{eqnarray}$ keine Krümmung (was mich auf einen Terassenpunkt vermuten lässt). Aber in der Lösung steht, dass f in $\begin{eqnarray} x_{1}=0 \end{eqnarray}$ ein globales Maximum hat. Hilfe!
10.02.2011, 19:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale und globale Extremalstellen $\begin{eqnarray} f(x) = \ln(x+1)-x+\frac{1}{2}x^{2} -\frac{1}{3}x^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_f=]-1,\infty[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) &&= \frac{1}{x+1}-1+x -x^{2} <br /> &&= \frac{1-x-1+x(x+1)-x^2(x+1)}{x+1}<br /> && = \frac{x(-1+x+1-x^2-x)}{x+1}<br /> && = \frac{-x^3}{x+1} \end{eqnarray}$ Die notwendige Bedingung ist nur für x=0 erfüllt. Ist dort auch eine hinreichende Bedingung erfüllt? $\begin{eqnarray} f''(x) &&= \frac{(-3x^2)(x+1)-(-x^3)(1)}{(x+1)^2}<br /> && = \frac{-3x^3-3x^2 +x^3}{(x+1)^2} <br /> && = \frac{x^2(-2x-3)}{(x+1)^2}<br /> \end{eqnarray}$ Die zweite Ableitung verschwindet für x=0 also. Dieses Kriterium bringt uns nicht weiter. Kehren wir zur ersten Ableitung zurück. Hat sie bei x=0 einen Vorzeichenwechsel?
10.02.2011, 19:33	jockijo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo hat sie, denn wenn ich ein kleines Stück nach Links von x1 gehe, dann ist die erste Ableitung positiv, wenn ich ein Stück nach rechts gehe, negativ. Kann mich erinnern, dass wir diesen Weg auch kennengelernt haben, aber warum funktioniert das nicht mit der 2. Ableitung?
10.02.2011, 19:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil die Funktion sich sehr glatt an die x-Achse anschmiegt. Ein einfacheres Beispiel: Um das Kriterium anzuwenden müssten wir viel höhere Ableitungen betrachten. Das ist sehr aufwendig. Hier ist der VZW einfacher. Das Kriterium heißt ja nur: ...wenn die zweite Ableitung nicht null ist, dann... Es sagt nichts über den Fall aus, wenn sie Null ist.
10.02.2011, 19:43	jockijo	Auf diesen Beitrag antworten »
oha, dass ja mal echt interessant. Aber was mich schon immer bedrückt hat, wie klein muss man diese Einheit wählen, um links und rechts von der Stelle zu schauen? + - 0,01? Und ist es dann nicht schlauer, wenn man IMMER den VZW betrachtet und gar nicht erst die 2. Ableitung bildet, um sich so eine menge Rechenarbeit zu ersparen? Oder gibt es da manchmal sogar schon Hinweise in der Funktion, dass ich mit der 2. Ableitung auch voran komme?
10.02.2011, 19:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wie klein ist eine heikle Frage und kann ich nicht allgemein beantworten. Man sollte es auch nie an einem konkreten wert festmachen. Das dient nur als Probe. $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{-x^{3} }{x+1}=0 \end{eqnarray}$ Der Nenner wechselt sein VZ bei x=-1. Im Ganzen Definitionsbereich (!) ist der Nenner also positiv. Der Zähler wechselt sein Vorzeichen offensichtlich bei x=0. Denn $\begin{eqnarray} -x^3>0 \Leftrightarrow x^3 < 0 \Leftrightarrow x<0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -x^3<0 \Leftrightarrow x^3 > 0 \Leftrightarrow x>0 \end{eqnarray}$
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10.02.2011, 19:55	jockijo	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, cool, dank dir

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