Orthogonale im R^4

21.06.2004, 16:38	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale im R^4 Wie berechne ich im $\begin{align} R^4 \end{align}$ bzw. $\begin{align} R^n \end{align}$ die Orthogonale zu 3 Vektoren die allesamt in einer Ebene liegen (komplanar). Beispiel: Man bestimme zwei Vektoren der Länge 1, die zu $\begin{align} \vec{u} = \(\array{2,&1,&-4,&0}\) \end{align}$ , $\begin{align} \vec{v} = \(\array{-1,&-1,&2,&2}\) \end{align}$ und $\begin{align} \vec{w} = \(\array{3,&2,&5,&4}\) \end{align}$ orthogonal sind. Im $\begin{align} R^4 \end{align}$ kann man ja scheinbar das Kreuzprdukt nicht mehr verwenden. Woran liegt das? Vielen Dank!
21.06.2004, 16:54	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt liefert nur im $\begin{align} R^3 \end{align}$ den Orthogonalvektor Dein Weg ist das skalarprodukt, das zählt nämlich für $\begin{align} R^n \end{align}$ 2 Vektoren sind senkrecht wenn das skalarprodukt 0 ist. 2 Vektoren sind zu vektor x senkrecht wenn in beiden fällen das skalarprodukt 0 ist Ansatz 2a - b -4c + 0d = 0 -1a - b +2c + 2d = 0 3a +2b + 5c + 4d = 0 (a,b,c,d) == Orthognal Vektor => Gleichungssystem Lösen, da nur 3 gleichungen und 4 unbekannte wirst du den vektor in abhängigkeit zu einer Komponente ausdrücken. edit Da alle vektoren komplanar sind würde sogar ein system mit 2 Vektoren reichen, da dann der dritte auch automatisch orthogonal zum gesuchten wäre. Aber mit 3 Vektoren lößt sich der Vektor besser auf
21.06.2004, 17:50	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher kann man das Kreuzprodukt verwenden. Es gibt ja schliesslich das verallgemeinerte Kreuzprodukt im R^n, für das man nicht 2, sondern n-1 Vektoren braucht (die du ja hast): http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Verallgemeinerung
21.06.2004, 18:07	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das geht ja wirklich . Du dürftest sogar einen Orthognalvektor bekommen ohne ihn durch eine Komponente ausdrücken zu müssen. eine Frage dazu, was ist eine formale Determinante , hab bissel gesucht aber nichts sinnvolles gefunden.
21.06.2004, 18:37	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht auch in dem Artikel: Es sieht aus wie eine Determinante, du berechnest es wie eine Determinante, es ist bloß keine. Das Kreuzprodukt $\begin{align} a_1\times \ldots \times a_{n-1} := \det(E, a_1, \ldots, a_{n-1}) \end{align}$ , bei dem E der "Spaltenvektor" der kanonischen Einheitsvektoren ist, kannst du bestimmen, indem du diese "Determinante" nach der ersten Spalte entwickelst. Damit erhältst du eine Summe von Vektoren mal Unterdeterminante, die du dann wieder ganz normal als "echte" Determinanten ausrechnen kannst.

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