Umlaufzahl

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11.02.2011, 00:08	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Umlaufzahl Guten Abend Sei c(t):= ((1+2cos(t))cos(t), (1+2cos(t))sin(t)), also: [attach]18067[/attach] Meine Frage hierzu ist: Wie sieht die konkrete Berechnung zur Umlaufzal aus? Per Grafik habe ich 2.25 herausgekriegt, bin aber sehr skeptisch... Liebe Grüsse, Leo
11.02.2011, 00:11	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! 2.25? Die Umlaufzahl muss eine ganze Zahl sein. Überlege es dir so. Wir starten auf dem ganz rechten Schnittpunkt mit der x-Achse. In welche Richtung zeigt der Tangentialvektor? Wann zeigt er das nächste Mal in diese Richtung? Wie oft zeigt er insgesamt in diese Richtung? Wie viele Umdrehungen macht er insgesamt? Also ist die Umlaufzahl? Cordovan
11.02.2011, 00:20	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Und wie sähe aber die formale Rechnung dazu aus?
11.02.2011, 00:27	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Willst du das wirklich ausrechnen? Wenn du meinst, dann schreibe den Tangentenvektor als $\begin{eqnarray} c'(t)=r(t)\cdot\begin{pmatrix}\cos\vartheta(t)\\ \sin\vartheta(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit einer positiven Funktion $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ . Die Umlaufzahl ist dann gegeben als $\begin{eqnarray} U(c)=\frac{1}{2\pi}\left(\lim_{t\rightarrow 2\pi}\vartheta(t)-\lim_{t\rightarrow0}\vartheta(t)\right) \end{eqnarray}$ Allerdings ist die Lösung doch auch geometrisch ganz ohne Rechnung klar. Cordovan
11.02.2011, 00:40	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber funktioniert dein System immer? Welche Umlaufzahl hätte deiner Meinung nach folgende Schleife? [attach]18068[/attach]
11.02.2011, 01:01	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt hier meiner Meinung nach? Überleg doch mal selbst. Wir geben der Kurve einen Durchlaufsinn und wählen uns einen Startpunkt. Sagen wir mal wir starten wieder ganz rechts, wählen den passenden Durchlaufsinn und starten dort, wo die Tangente nach oben zeigt. Dann laufen wir entlang der Kurve und schauen, wie oft sich der Tangentenvektor gedreht hat. Also: beschreibe mal die Bewegung des Tangentenvektors von meinem oben beschriebenen Startpunkt aus. Cordovan
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11.02.2011, 18:02	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: Angenommen, wir starten ganz rechts, im Gegenuhrzeigersinn. Der Tangentenvektor zeigt also gegen oben. Das nächste Mal, dass er gegen oben zeigt, ist bei der linken Schlaufe und das dritte Mal ist links ganz aussen. --> Umlaufzahl = 3. In der Vorlesung haben wir aber genau dieses Beispiel gehabt, und Umlaufzahl 1 heruasgekriegt. Deshalb habe ich auch "deiner Meinung nach" (sorry ) geschrieben. Entweder habe ich bei diesem System etwas missverstanden, oder unser Beispiel in der VL hat auf etwas anderes abgezielt. Aber eigentlich gibt es ja nicht verschiedene Umlaufzahlen für die gleiche Schleife... Liebe Grüsse, Leo
11.02.2011, 19:57	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da hast du mich missverstanden. Also, wir laufen los und zeigen auf der linken Seite der Schlaufe wieder nach oben. Aber wir haben keine Umdrehung gemacht! Der Vektor hat sich ein Stück gegen den Uhrzeigersinn und wieder zurück gedreht. Dann laufen wir weiter. Als nächstes zeigt der Vektor wieder nach oben, wenn wir ganz links in der Kurve sind. Jetzt haben wir eine Umdrehung gemacht, und zwar im Uhrzeigersinn (Umlaufzahl -1). So, jetzt das letzte Stück. Was passiert da? Cordovan
11.02.2011, 20:58	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier passiert wieder dasselbe wie bei Absatz 2, d.h. der Vektor hat sich nur verschoben, aber keine Umdrehung gemacht. --> Umlaufzahl = -1. Aber: ..eigentlich müsste sie 1 betragen..
11.02.2011, 21:05	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, Umlaufzahl ist -1. Sie hängt von der Wahl der Orientierung ab! Hätten wir am Anfang den anderen Durchlaufsinn genommen, wäre als Umlaufzahl 1 herausgekommen. Vielleicht habt ihr das ja in der Vorlesung auch gemacht. Cordovan
11.02.2011, 21:19	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Das wollt ich grade sagen / fragen, dass es wahrscheinlich von der Orientierung abhängt. Super, vielen Dank für die Hilfe! (und sorry, dass ich erst eine etwas lange Leitung hatte..)
11.02.2011, 21:29	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem, hat doch alle geklappt. Gut, dass du dich entschieden hast, das Problem geometrisch anzugehen Cordovan

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