Verstehe letzten schritt nicht bei biquadratischer gleichung

11.02.2011, 12:30

Pablo

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Verstehe letzten schritt nicht bei biquadratischer gleichung

moin, also

ich habe diese kleidung hier

2xhoch 4 - 10x² + 8 = 0

dann ersetze ich x² durch z

dann sieht das ganze so aus

2z² - 10x + 8 = 0 nun forme ich um damit ich mit der pq formel arbeiten kann

z² - 5z + 4 = 0

jetzt wende ich pq an. ergebnis z1 = 4,75 und z2 = 0,25

und genau ab hier blick ich nun nicht mehr weiter durch. kann einer in worten nicht in formeln, jetzt bitte erklären, was man machen muss. bitte einmal für ganz dumme Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2011, 12:48

PhyMaLehrer

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Ich fürchte mal, du hast bei der Berechnung mit der pq-Formel das Wurzelziehen vergessen! Ich habe andere Ergebnisse...
Aber wie auch immer: Nach deiner Ersetzung ist ja z = x². Das heißt, jedes der beiden z, die du als Ergebnis erhältst, ist das Quadrat eines x, das dann die endgültige Lösung der Gleichung ist. Wenn also z1 = x², dann ist x = ??? Das gleiche gilt für z2. Du erhältst zu jedem z zwei x, also insgesamt 4 (ganze!) Zahlen.
Mach mal! Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2011, 12:58

Pablo

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huch sorry

z1 = 4
z2 = 1

hmm also jedes der beiden z ist das quadrat eines x verwirrt

verwirrt

hm und wie mach ich jetzt weiter? mus ich jetzt nochmal neu rechnen oder wie?

11.02.2011, 13:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pablo
hmm also jedes der beiden z ist das quadrat eines x verwirrt

verwirrt

hm und wie mach ich jetzt weiter?

Du mußt jetzt nur darüber nachdenken, was x ist, wenn z 4 oder 1 ist.

11.02.2011, 13:15

joyo

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Hi.

Du hast ja angenommen, dass z= x² ist.

und z1 und z2 hast du ausgerechnet, nähmlich 1 und 4...

jetzt musst du die annahme nur noch "rückgängig" machen...

11.02.2011, 13:17

joyo

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jaja..... wer nämlich mit h schreibt... hat zu dicke finger :P

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11.02.2011, 14:01

Pablo

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wie mach ich diese annahme rückgänig? muss ich jetzt mit den neuen werten ne komplett neue rechnung starten, oder kann ich das z irgendwie so gleich übernehmen und quadrieren oder so und das ist dann die endgültige lösung???

11.02.2011, 14:07

klarsoweit

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RE: Verstehe letzten schritt nicht bei biquadratischer gleichung

Zitat:

Original von Pablo
dann ersetze ich x² durch z

Was bedeutet denn dies als mathematische Gleichung?
Setze einmal z=4 und einmal z=1 und löse auf.

11.02.2011, 15:48

Pablo

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also z = x²

z1 = 4
z2 = 1

dann ist

x1 = 16
x2 = 1

ja?

11.02.2011, 16:01

Seawave

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Nein.
Was du gerechnet hast, ist x=z² (also genau falschrum).

Schau dir nochmal an, was Joyo geschrieben hat:

Zitat:

Original von joyo

Du hast ja angenommen, dass z= x² ist.

Wenn wir jetzt erstmal z1 betrachten, also 4, lässt sich daraus die Gleichung aufstellen:

4=x²

Wie löst du das jetzt nach x auf?

11.02.2011, 16:17

Pablo

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4=x²

wurzel ziehen

2 = x

und nun?

11.02.2011, 16:31

Seawave

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x=2 oder x= ..?

Eine quadratische Gleichung dieser Form (x²=a) hat immer 2 Lösungen, wenn a, also die Zahl,die auf der einen Seite steht > 0 ist (auch wenn leider sehr oft die zweite Lösung unter den Tisch fallen gelassen wird).

11.02.2011, 17:58

Pablo

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heyyyyyyy man man man. lasst es doch einfach mal mit dem selberdraufkommen. ich mach keine hausaufgabe,n sondern lern für mich und ich blicks nicht!
zeigt doch mal einfach was man jetzt machen muss, ansatt hier rätselspiele über den tag zu spielen unglücklich

unglücklich

sorry, aber ich sitz jetzt den gazne nachmittag dran und komm nicht drauf.

also was is zu tun? ich habe x² durch z ersetzt. hab meine beiden ergebnisse.
und nun? was muss ich tun? und WIESO?

11.02.2011, 18:17

Mystic

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Zitat:

Original von Pablo
4=x²

wurzel ziehen

2 = x

und nun?

Der Schritt mit dem beiderseitigen Wurzelziehen führte bei dir auf das falsche Ergebnis... Richtig ist

$\begin{eqnarray*} x^2=4 \Leftrightarrow |x|=2 \end{eqnarray*}$

d.h., du hast bei deiner Umformung "bloß" die Betragsstriche vergessen... Weißt du danach, wie's weitergeht?

11.02.2011, 18:35

Gast 17

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RE: Verstehe letzten schritt nicht bei biquadratischer gleichung
was sie dir gerade alle versucht haben ist einfach nur...

immer wenn du ein x durch z ersetzt damit du nach der p,q formel rechnen kannst bekommst du am ende zwei nullstellen für z heraus.
meist z1=... und z2=.... um nun wieder auf x1=... zu kommen (oder x2=...) nimmst du immer die + - wurzel aus dem jeweiligem z!
wenn beispielsweise z1=4 ist und z2=2,
dann:
1. wurzel aus z1! --> x1= + 2 und x2= - 2.
2. wurzel aus z2! --> x3 = + wurzel aus 2 und x4= - wurzel aus 2

du hast also vier nullstellen erhalten, genau so, wie es deine ausgangsgleichung, die mit x^4 beginnt, anzeigt!

ich hoffe das hilft dir etwas mehr!

11.02.2011, 21:12

Mystic

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RE: Verstehe letzten schritt nicht bei biquadratischer gleichung

Zitat:

Original von Gast 17
ich hoffe das hilft dir etwas mehr!

Keine Angst, auch diese Erklärungsversuche gab es hier schon, z.B. erst gestern um 16:18

Zitat:

Original von lgrizu
Es ist doch $\begin{eqnarray*} z_1=4 \Rightarrow_{\textbf{mit}x^2=z} x_{1,2}=\pm \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ , Nun einfach ausrechnen.

Moral von der Geschichte: Es muss nicht automatisch an den Helfern liegen, wenn die Botschaft nicht ankommt! geschockt

geschockt

11.02.2011, 21:36

Pablo

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ich checks immer noch nicht.

also z1 = 4
z2 =1

was jetzt? was ist der nächste schritt?

11.02.2011, 21:49

sulo

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Hi Pablo, nachdem du mich per PN um Hilfe gebeten hast, will ich versuchen, zu erklären, was du nun tun musst.

Du hattest gesetzt: z = x²

Und jetzt hast du 2 Lösungen für z: z1 = 4 und z2 = 1

Das sind die Lösungen für die Gleichung: 2z² - 10z + 8 = 0

Jetzt brauchst du noch die Lösungen für die Gleichung 2x^4 - 10x² + 8 = 0

Wir wissen hierzu schon: z = x²
sowie: z1 = 4 und z2 = 1

Das heißt: (x²)1 = 4 und (x²)2 = 1

Ist das soweit klar?

smile

smile

11.02.2011, 21:53

Pablo

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jaaaa

smile

aber wie bekomm ich das x^4 raus? oder wie gehts weiter? jetzt einfach das x1 nochmal quadrieren und ich hab x^4 oder nicht?

also x^4 = 16

hab ich ja schion mal gesagt

11.02.2011, 22:08

sulo

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Pass auf: Du suchst nicht x^4 und x^2 sondern du suchst die x-Werte, für die diese Gleichung stimmt: 2x^4 - 10x² + 8 = 0

Das x^4 ist nur ein Hinweis, dass es 4 Lösungen sein können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wir haben inzwischen: $\begin{eqnarray*} x^2_{~1,2} = 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2_{~3,4} = 1 \end{eqnarray*}$

Da es Quadratzahlen sind, bekommst du immer 2 mögliche Lösungen, deswegen habe ich mal 1,2 und 3,4 an die beiden x² geschrieben.
Da können wir schon die 4 Lösungen ahnen.

Jetzt muss allerdings noch die Wurzel gezogen werden, damit du die Lösungen dann auch errechnet hast.

smile

smile

11.02.2011, 22:13

Pablo

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aha aha aha
also jetzt nur noch die wurzeln ziehen aus meinen beiden zahlen, dann ist man fertig?

also x3= 2
x4= wurzel aus 1 geht ja nicht

11.02.2011, 22:17

sulo

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Zitat:

Original von Pablo
wurzel aus 1 geht ja nicht

Hmm...

verwirrt

Machen wir die Probe. Rechne mal:
a) 1 · 1 = ?
b) (-1) · (-1) = ?

11.02.2011, 22:19

Pablo

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hmm ja, was heißr das jetzt?

also ich muss nachdem ich substituiert habe von den beiden werten nochmal die wurzel ziehen und dann ist man fertig?

a = 1
b = 1

11.02.2011, 22:26

sulo

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Zitat:

Original von Pablo
also ich muss nachdem ich substituiert habe von den beiden werten nochmal die wurzel ziehen und dann ist man fertig?

Genau das heißt es. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} x^2_{~1,2} = 4 ~\Rightarrow ~ x_{~1,2}= \pm \sqrt{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2_{~3,4} = 1~\Rightarrow ~ x_{~3,4}= \pm \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Beachte, dass du jeweils 2 Ergebnisse erhältst: einmal + und einmal - smile

smile

11.02.2011, 22:47

Pablo

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ja ich checks so halbwegs jetzt. also aus den beiden errechneten werten z1 & z2 nochmal die wurzel ziehen und dann?

ich komme vor lauter x und z und ² schon total durcheinander.

zeigs mal bitte an der rechnung

11.02.2011, 22:53

sulo

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$\begin{eqnarray*} x^2_{~1,2} = 4 ~\Rightarrow ~ x_{~1,2}= \pm \sqrt{4} ~\Rightarrow ~ x_1 = +2; x_2 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2_{~3,4} = 1~\Rightarrow ~ x_{~3,4}= \pm \sqrt{1} ~\Rightarrow ~ x_3 = +1; x_4 = -1 \end{eqnarray*}$

Hier der Beweis:

smile

11.02.2011, 22:59

Pablo

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ja das glaub ich smile

smile

ich bring nur die ganzen x'e durcheinander jetzt irgendwie.

also meine beiden werte z1 = 4 & z2 = 1

soooooo aus den beiden nun die wurzel ziehen

wurzel aus z1 = 2
wurzel aus z2 = 1

so und was jetzt??? genau hier hängt es gerade bei mir

11.02.2011, 23:06

sulo

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Zitat:

Original von Pablo
wurzel aus z1 = 2
wurzel aus z2 = 1

Und hier ist das Problem: Die Wurzel aus 4 ist +2 und -2.

Analog für die Wurzel aus 1: +1 und -1

Vier Ergebnisse, so wie es sein soll. smile

smile

11.02.2011, 23:07

Pablo

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häää? wieso spiegelst du die beiden zahlen jetzt?

11.02.2011, 23:08

joyo

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du kennst z:

$\begin{eqnarray*} z_{1} = 4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Deine Annahme am Anfang war z=x²

Nun: $\begin{eqnarray*} 4= z_{1} = x² <=> 4 = x² => \pm 2 = x_{1,2} \end{eqnarray*}$

Hier stellst du dir die Frage "Was zum Quadrat ergibt 4?"
Die Antwort: -2 und 2.

gleiches Spiel auch mit z=1

$\begin{eqnarray*} 1 = x² => \pm 1 = x_{3,4} \end{eqnarray*}$

11.02.2011, 23:12

sulo

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Bei diesen Substitutionsaufgaben ist es immer so, dass man erst 2 Ergebnisse hat und dann durch das Wurzelziehen aus jedem Ergebnis 2 Ergebnisse macht (jeweils + und -), dann sind es eben 4 Ergebnisse.

smile

smile

11.02.2011, 23:17

joyo

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Hoppla, habe die zweite Seite garnicht gesehen Big Laugh

Big Laugh

Es können auch nur zwei Ergebnisse sein..

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a^{4} = 16 \end{eqnarray*}$

Substitution: a² = b

$\begin{eqnarray*} a^{4} = a² \cdot a² = b \cdot b = b² = 16 => b_{1} = 4, b_{2} = -4 \end{eqnarray*}$

Re-Substitution:

$\begin{eqnarray*} b_{1} = 4 = a² \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b{2} = -4 = a² \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} b_{2} \end{eqnarray*}$ bekommt man keine Lösung..

11.02.2011, 23:20

Pablo

Auf diesen Beitrag antworten »

sulo
okay versteh ich jetzt noch n zacken mehr, aber immer noch nicht.

ich zieh die wurzel aus z1 und z2. --> gecheckt

und jetzt jeden wert + - was genau? sags mal mit worten, so ungefähr.

''jetzt jeden wert einfach mit dem und dem addieren oder subtrahieren""

vervollständige einfach diesen satz smile

smile

(Pablo-Style) :P

@ jojo bitte mich jetzt nicht verwirren, steh kurz vor dem durchbruch :P

11.02.2011, 23:29

sulo

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Zitat:

''jetzt jeden wert einfach mit dem und dem addieren oder subtrahieren"

Nö, man macht gar nix. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man hat die Ergebnisse und fertig.

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} x^2_{~1,2} = 4 ~\Rightarrow ~ x_{~1,2}= \pm \sqrt{4} ~\Rightarrow ~ x_1 = +2;~ x_2 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2_{~3,4} = 1~\Rightarrow ~ x_{~3,4}= \pm \sqrt{1} ~\Rightarrow ~ x_3 = +1; ~x_4 = -1 \end{eqnarray*}$

Wir haben die Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} x_1 = +2;~ x_2 = -2; ~ x_3 = +1; ~x_4 = -1 \end{eqnarray*}$

Man hat (zweimal) die Wurzel gezogen und dann (zweimal) eine +Zahl und eine -Zahl aus der Wurzel bekommen.

11.02.2011, 23:32

Pablo

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ich checks nicht unglücklich

unglücklich

was gehtn ab? ich check das nicht, da stehen so viele xe dass ich gar nicht mehr weiß welches ich überhaupt so zuordnen soll

11.02.2011, 23:46

sulo

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Du hast:

1) x² = 4
Daraus ziehst du die Wurzel und bekommst: x1 = +2 und x2 = -2

2) x² = 1
Daraus ziehst du die Wurzel und bekommst: x3 = +1 und x4 = -1

smile

smile

11.02.2011, 23:50

Pablo

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Zitat:

Original von sulo
Du hast:

1) x² = 4
Daraus ziehst du die Wurzel und bekommst: x1 = +2 und x2 = -2

wie kommst du da auf -2

eeinmal die wurzel aus 4 ist 2 okay, das steht ja auch bei x1, aber wie kommst du bei x2 auf -2????? wenn ich nochmal die wurzel ziehe, komm ich auf 1,41...

11.02.2011, 23:59

sulo

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Nochmal zum Mitschreiben: Die Wurzel aus 4 ist +2 und -2

Du hast 2 mögliche Ergebnisse, wenn du aus einer Zahl die Wurzel ziehst.

(Wir sprechen hier nur von Quadratwurzeln)

12.02.2011, 00:02

Pablo

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das hat mir ja noch nie jemand gesagt, oh man. wie soll ich da drauf kommen, dass auch ne negative quadratwurzel ne positive zahl ergeben kann??

häää, also die wurzel aus 4 = -2 komisch komisch

12.02.2011, 00:10

sulo

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Zitat:

wie soll ich da drauf kommen, dass auch ne negative quadratwurzel ne positive zahl ergeben kann??

Wie bitte? verwirrt

verwirrt

Es gilt einfach:

$\begin{eqnarray*} x^2_{~1,2} = 4 ~\Rightarrow ~ x_{~1,2}= \pm \sqrt{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2_{~3,4} = 1~\Rightarrow ~ x_{~3,4}= \pm \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Und das war's von mir. Ich verabschiede mich aus dem Thread. Wink

Wink

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