tangenten |
| 11.02.2011, 16:34 | hgfd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| tangenten hallo (: in der Schule bekamen wir folgende Aufgabe: Welche beziehung muss für die koeffizienten der funktion: f(x)=x³+bx²+cx+d ( das erste heißt x hoch 3, das zweite x quadrat)gelten, damit der graph von f zwei, genau eine bzw keine waagerechte tangente hat? Meine Ideen: was mir bereits klar ist, ist, dass der graph nur an einem Wendepunkt bzw extrempunkt eine waarerechte tangente besitzt und deswegen die 1 bzw 2 ableitung notwendig ist. anschließend muss diese mit null gleich gesetzt werden, und anschöießenp pq formel. bei einer tangente muss unter der wurzel null bei 2 tangenten eine positive und bei keiner tangente eine negative zahl als lösung herauskommen. aber irgendwie komm ich nicht weiter. hoffe ihr könnt mir helfen. |
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| 11.02.2011, 16:52 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tangenten Du kannst dir überlegen, dass der Graph zwei Extremstellen hat, wenn die Ableitung zwei verschiedene Nullstellen hat, also zerlegbar ist in zwei unterschiedliche Linearfaktoren. Eine Stelle mit waagerechter Tangente hat er also dementsprechend, wenn die Ableitung nur eine Nullstelle hat, also in einen Linearfaktor mit entsprechender Vielfachheit zerlegbar ist. Keine Stelle mit waagerechter Tangente hat der Graph, wenn die Ableitung keine Nullstellen hat. Da die Konstante d beim Ableiten wegfällt kann man sich ja mal überlegen, was sie bewirkt, also ob sie überhaupt relevant ist. |
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| 11.02.2011, 19:08 | hgfd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| tangenten ja das war mir schon klar die erste ableitung dürfte lauten: 3x²+2bx+c=0 anschließend durch 3 und pq-formel dann steht da: x=-1/3 +-wurzel aus 1/9 b²-c/3 und die wurzel muss dann einmal =0 -->eine tangente;kleiner null-->keine;größer null-->2 tangenten aber ich komm dann einfach nicht weiter was soll man unter beziehungen unter den koeffizienten verstehen?was genau muss ich jetzt machen |
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| 11.02.2011, 19:46 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: tangenten
Diese beiden Unbekannten, das b und das c, müssen in einem ganz bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Zum Beispiel: Damit es nur eine Lösung gibt, muss der Ausdruck unter der Wurzel null werden. Mit anderen Worten, gefordert ist Löse das z.B. nach b auf. |
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| 12.02.2011, 12:13 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tangenten Alternativ kannst du die Ableitung betrachten in der Form: ----> Die Ableitung hat eine Nullstelle. ----> Die Ableitung hat zwei Nullstellen für ---> Die Ableitung hat keine Nullstelle für Und Schlüsse ziehen, was das für die Koeffizienten von f(x) bedeutet. |
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| 12.02.2011, 12:54 | hgfd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| tangente ja die gleichung hatte ich auch schon raus wenn cih jetzt bespielsweise nach c auflöse käme ja heraus: 1/3 b²=c das hatte ich auch schon aber wie lautet jetzt meine antwort? c muss 3 mal so groß sein wie b² wenn nur eine lösung heraus kommen soll? und was ist mit dem wendepunkt? an denen hat die funktion shcließlcih auch eine waagerechte tangente? |
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| 12.02.2011, 14:23 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tangente An einer Wendestelle hat der Graph der Funktion nur dann eine waagerechte Tangente, wenn es sich um einen Sattelpunkt handelt, also die Ableitung (da sie vom Grad 2 ist) nur eine Nullstelle mit der Vielfachheit 2 hat, das ist der von mir als erstes genannte Fall. Das ist auch der Fall, wenn der Ausdruck unter der Wurzel 0 wird. |
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| 12.02.2011, 21:03 | hgfd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tangente okay danke für die info. und was genau muss ich jetzt weiter machen? also die beziehung der koeffizienten? |
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| 12.02.2011, 21:10 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tangente Du weißt nun schon eine Beziehung, der Term unter der Wurzel wird 0, wenn gilt 1/3b²=c. Nun musst du dir überlegen, wann der Term unter der Wurzel größer als 0 wird (Wie viele Nullstellen hat der Graph der Ableitung in diesem Fall?) und wann der Term unter der Wurzel kleiner wird als 0 (Wie viele Nullstellen hat der Graph der Ableitung dann?). |
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| 12.02.2011, 21:57 | hgfd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, das ist mir bewusst. bei größer null 2 nullstellen ,bei kleiner null gar keine. was ich wissen möchte ist, ob 1/3 b² =c die lösung ist und wie ich es dann in worten ausspreche. also die beziehung zueinander--> c muss... sein damit f nur eine waagerechte tangente besitzt. |
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| 13.02.2011, 00:20 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Ergebnis ist richtig, der Graph der Funktion hat eine Stelle an der die Steigung 0 ist, wenn b² 3 mal so groß ist wie c. Aber auch die Gleichung b²=3c ist eine Beziehung, die b und c zueinander haben. |
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| 13.02.2011, 17:48 | hgfd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay danke |
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