Nullfolge

27.11.2006, 21:30

Yogi Löw

Nullfolge

Hallo,
kann mir mal jemand einen Tip geben, wie ich an folgende Aufgabe herangehe ?
Sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(a_k+1/a_k) \end{eqnarray*}$ ; (n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ )

Dann ist $\begin{eqnarray*} (1/x_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

Ich hab noch keine Idee...

27.11.2006, 21:36

sqrt4

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vllt hilft:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=a_k \end{eqnarray*}$

27.11.2006, 21:39

Yogi Löw

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Hä ? Das hilft mir nicht wirklich weiter. Kannst das mal mit n paar Worten einkleiden...

27.11.2006, 21:40

Abakus

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RE: Nullfolge
Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ die konstante Folge Null ist, macht der Summenterm keinen Sinn.

Da fehlen weitere Voraussetzungen, damit die Aufgabe Sinn macht.

Grüße Abakus smile

27.11.2006, 21:45

sqrt4

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Naja es gilt:
$\begin{eqnarray*} a_k+\frac{1}{a_k} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n a_k+\frac{1}{a_k} \geq (n+1)2 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} x_n \geq (n+1)2 \end{eqnarray*}$

27.11.2006, 21:45

Yogi Löw

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RE: Nullfolge
Nein, das sind leider alle Voraussetzungen ! $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_ \ge 0 \end{eqnarray*}$ .

27.11.2006, 21:50

Yogi Löw

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Ja, das sehe ich ein, aber wie beweis ich damit, dass $\begin{eqnarray*} (1/x_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist ?

27.11.2006, 21:52

Abakus

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von Yogi Löw
Nein, das sind leider alle Voraussetzungen ! $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_ \ge 0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt lässt du im Gegensatz zu oben nur nichtnegative Folgenglieder zu. Das ist schon eine weitere Voraussetzung.

Hilft aber nichts, solange konstante Nullfolgen zugelassen sind, macht die Aufgabe keinen Sinn.

Grüße Abakus smile

27.11.2006, 21:53

sqrt4

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Also

$\begin{eqnarray*} x_n \geq (n+1)2 \end{eqnarray*}$

deswegen ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n}\leq \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Also ich kenne die genaue definition nicht, aber das heißt doch, dass die Folge gegen Null konvergiert.

Das ist hier offensichtlich der Fall oder nicht??

Edit:

Ich beachte die Voraussetzungen nicht. Big Laugh