Extremwertaufgabe

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chelsea Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Meine Frage:
Ein Kegel (h = 0.75h r = r) "sitzt" auf einem Zylinder (h = h r = r). Für welche werte von h und r ist bei einem volumen von V = 48*pi*m³ ist die oberfläche am geringsten ?

Meine Ideen:
V (r,h) = 1.25*pi*r²*h
A (r,h) = pi*r*(2*h+s)
s = sqrt(h²+r²)

ich würd jetz fürs volumen 48 einsetzen und dann nach r auflösen. Das setz ich dann in die flächenfunktion ein leits ab und such nen tiefpunkt...naja des hab ich probiert aber hat nich hingehauen. braucht ma da nen anderen lösungsansatz ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe
Dein Ansatz klingt theoretisch gut. Freude

Allerdings kann ich deine Gleichungen nicht nachvollziehen, denn deine Angaben: Kegel (h = 0.75h r = r), Zylinder (h = h r = r) sind mir etwas rätselhaft.

Du hast also keine Angaben, aber was ist mit der Höhe des Kegels? Soll sie 3/4 der Höhe des Zylinders sein? verwirrt
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

ja die höhe vom kegel ist 3/4 von der höhe des zylinders.

also V(Kegel+Zylinder) = r²*pi*h + 1/3*r²*pi*0.75*h = 1.25*pi*r²*h
A = 2*pi*r*s + pi*r*s

V = 48*pi = 1.25*pi*r²*h
=> h = 38,4/r²

dann ist s = sqrt(38.4²/r^4 + r²)

das in A eingesetzt: A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt(38.4²/r^4 + r²)

naja und das teil ableiten hab ich jetz noch nich wirklich geschafft...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chelsea
A = 2*pi*r*s + pi*r*s

Ich kann deine Oberfläche nicht nachvollziehen. Der hintere Summand ist der Kegelmantel. Aber was hast du mit dem Zylindermantel gemacht? Und was ist mit dem Boden?

Zitat:
Original von chelsea
=> h = 38,4/r²

Das kann ich bestätigen. Freude
Aber: Dies gilt für die Zylinderhöhe!

Zitat:
Original von chelsea
dann ist s = sqrt(38.4²/r^4 + r²)

Nein, denn du musst, da es sich hier um den Kegel handelt, wieder mit den 3/4 h rechnen.
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

also eigentlich geht es bei der aufgabe um ein zelt, bei dem der boden nicht interessiert.
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

oh und bei der fläche vom zylinder meinte ich: 2*pi*r*h
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chelsea
also eigentlich geht es bei der aufgabe um ein zelt, bei dem der boden nicht interessiert.

Nett, dass du das mal erwähnst....

Zitat:
Original von chelsea
oh und bei der fläche vom zylinder meinte ich: 2*pi*r*h

Ok. Dann stelle die Gleichung für die Oberfläche noch einmal auf. smile
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

A = 2*pi*r*h + pi*r*s
V = 48*pi = 1.25*pi*r²*h
=> h = 38,4/r²
s = sqrt((0.75*h)²+r²) = sqrt((28.8/r²)²+r²)
 A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt((28.8/r²)² + r²)
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chelsea
A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt((28.8/r²)² + r²)


Freude

Und ab jetzt wird es furchtbar unschön.... unglücklich

Ich habe mal versucht, statt dem A(r) das A(h) aufzustellen, aber das wird auch nicht wirklich besser.
Also müssen wir da wohl durch und die Ableitung bilden.
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

des kann ich mir nich ganz vorstellen...also ich habs schonmal gerechnet wo aber 100% n fehler drin war, aber da war das verhältnis von r zu h exakt 1,5 (wsl hab ich da nen doppeltfehler gemacht ders wieder ausgeglichen hat). jedenfalls hatte ich für r = 3317.76^1/6
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das wären 3,862 m.

Warum bist du dir so sicher, dass das falsch ist? verwirrt

edit:
Ich habe unsere Funktion A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt((28.8/r²)² + r²) mal zeichnen lassen:


Das Minimum liegt schon ziemlich passend. Freude
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

hm ja also das ergebnis klingt schon realistisch (fürn radius von nem zelt)...ne ich weis das ich falsch abgeleitet hab, weil ich jetz nen fehler gefunden hab. hmm ich probiers ableiten einfach nochmal...aber schonmal danke bis dahin Augenzwinkern
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz stimmt auf jeden Fall, er führt zum richtigen Ergebnis Big Laugh
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

puh also ich bring die ableitung davon einfach nich hin... verwirrt
A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt((28.8/r²)² + r²)
mag jemand mal probieren ? Augenzwinkern
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]18090[/attach]

Dies ist die Ableitung mit unserem Tool gerechnet. Warum es die 829,44 so unnötig verlängert, weiß ich nicht.

Die Ableitung an sich ist nicht so wild, jetzt muss sie = 0 gesetzt werden und das x (bzw. r) ausgerechnet werden, und das ist nicht schön...

Das werde ich im Laufe des Tages von einem Rechner machen lassen, kann aber nicht sagen, wann ich die Zeit dazu finde.
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »











Dann Substitution:



Das entstehende f(u) lässt sich prima ableiten und im Anschluss vereinfachen Augenzwinkern

Tipp dabei:

chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

ok also A(u) = pi/(u²-28,8²)^1/6*(76,8 + u)

A`(u) = -1/6*pi/(u² - 28.8²)^7/6*(76.8 + u) + pi*u/(u²-28,8²)^1/6 = 0

(mit (u²-28,8²)^1/6 multiplizieren und durch pi teilen)

-1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u) + u = 0

müsst soweit stimmen oder ?
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chelsea
ok also A(u) = pi/(u²-28,8²)^1/6*(76,8 + u)

A`(u) = -1/6*pi/(u² - 28.8²)^7/6*(76.8 + u) + pi*u/(u²-28,8²)^1/6 = 0

(mit (u²-28,8²)^1/6 multiplizieren und durch pi teilen)

-1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u) + u = 0

müsst soweit stimmen oder ?


Fast Big Laugh

A`(u) = -1/6*pi/(u² - 28.8²)^7/6*(76.8 + u)*2u + pi*1/(u²-28,8²)^1/6 = 0

(mit (u²-28,8²)^1/6 multiplizieren und durch pi teilen)

-1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u)*2u + 1 = 0
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

jo nachdifferenzieren is ne gute sache smile

-1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u)*2u + 1 = 0

(dann mit (u²-28.8²) multipliziert)

-1/3*u*(76.8 + u) + u² - 28.8² = 0

-12.8*u - 1/3*u² + u² -28.8² = 0

2/3*u² - 12.8*u - 28.8² = 0

(da haut dann mitternachtsformel aber nich hin...wo is der wurm unglücklich )
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chelsea
jo nachdifferenzieren is ne gute sache smile

-1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u)*2u + 1 = 0

(dann mit (u²-28.8²) multipliziert)

-1/3*u*(76.8 + u) + u² - 28.8² = 0

-12.8*u - 1/3*u² + u² -28.8² = 0

2/3*u² - 12.8*u - 28.8² = 0

(da haut dann mitternachtsformel aber nich hin...wo is der wurm unglücklich )


1/3 von 76.8 ist nicht 12.8 Lehrer





Big Laugh
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

aha Augenzwinkern so also u muss doch größer als 28.8 sein damit r = (u²-28.8²)^1/6 geht

es kommt also nur ein u in frage (59.36) das eingesetzt ergibt nen radius von 3.73 metern. haste des gleich ergebnis ?
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, das war mein Ergebnis, ja Big Laugh
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

ok cool
dann muss ich jetz nur noch 2. ableitung machen um zu beweisen dass es ein tiefpunkt is unglücklich
chelsea Auf diesen Beitrag antworten »

aber magst du mir nochmal schnell sagen warum mann ne substitution machen muss ?
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht muss man es nicht ... aber irgendwie hatte ich das Gefühl, es könnte damit einfacher werden Big Laugh
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