Extremwertaufgabe |
11.02.2011, 19:36 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Extremwertaufgabe Ein Kegel (h = 0.75h r = r) "sitzt" auf einem Zylinder (h = h r = r). Für welche werte von h und r ist bei einem volumen von V = 48*pi*m³ ist die oberfläche am geringsten ? Meine Ideen: V (r,h) = 1.25*pi*r²*h A (r,h) = pi*r*(2*h+s) s = sqrt(h²+r²) ich würd jetz fürs volumen 48 einsetzen und dann nach r auflösen. Das setz ich dann in die flächenfunktion ein leits ab und such nen tiefpunkt...naja des hab ich probiert aber hat nich hingehauen. braucht ma da nen anderen lösungsansatz ? |
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11.02.2011, 19:42 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Extremwertaufgabe Dein Ansatz klingt theoretisch gut. Allerdings kann ich deine Gleichungen nicht nachvollziehen, denn deine Angaben: Kegel (h = 0.75h r = r), Zylinder (h = h r = r) sind mir etwas rätselhaft. Du hast also keine Angaben, aber was ist mit der Höhe des Kegels? Soll sie 3/4 der Höhe des Zylinders sein? |
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11.02.2011, 20:51 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja die höhe vom kegel ist 3/4 von der höhe des zylinders. also V(Kegel+Zylinder) = r²*pi*h + 1/3*r²*pi*0.75*h = 1.25*pi*r²*h A = 2*pi*r*s + pi*r*s V = 48*pi = 1.25*pi*r²*h => h = 38,4/r² dann ist s = sqrt(38.4²/r^4 + r²) das in A eingesetzt: A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt(38.4²/r^4 + r²) naja und das teil ableiten hab ich jetz noch nich wirklich geschafft... |
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11.02.2011, 21:10 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann deine Oberfläche nicht nachvollziehen. Der hintere Summand ist der Kegelmantel. Aber was hast du mit dem Zylindermantel gemacht? Und was ist mit dem Boden?
Das kann ich bestätigen. Aber: Dies gilt für die Zylinderhöhe!
Nein, denn du musst, da es sich hier um den Kegel handelt, wieder mit den 3/4 h rechnen. |
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11.02.2011, 21:16 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also eigentlich geht es bei der aufgabe um ein zelt, bei dem der boden nicht interessiert. |
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11.02.2011, 21:18 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oh und bei der fläche vom zylinder meinte ich: 2*pi*r*h |
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11.02.2011, 21:30 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nett, dass du das mal erwähnst....
Ok. Dann stelle die Gleichung für die Oberfläche noch einmal auf. |
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11.02.2011, 22:00 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
A = 2*pi*r*h + pi*r*s V = 48*pi = 1.25*pi*r²*h => h = 38,4/r² s = sqrt((0.75*h)²+r²) = sqrt((28.8/r²)²+r²)  A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt((28.8/r²)² + r²) |
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11.02.2011, 22:14 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und ab jetzt wird es furchtbar unschön.... Ich habe mal versucht, statt dem A(r) das A(h) aufzustellen, aber das wird auch nicht wirklich besser. Also müssen wir da wohl durch und die Ableitung bilden. |
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11.02.2011, 22:29 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
des kann ich mir nich ganz vorstellen...also ich habs schonmal gerechnet wo aber 100% n fehler drin war, aber da war das verhältnis von r zu h exakt 1,5 (wsl hab ich da nen doppeltfehler gemacht ders wieder ausgeglichen hat). jedenfalls hatte ich für r = 3317.76^1/6 |
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11.02.2011, 22:42 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das wären 3,862 m. Warum bist du dir so sicher, dass das falsch ist? edit: Ich habe unsere Funktion A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt((28.8/r²)² + r²) mal zeichnen lassen: Das Minimum liegt schon ziemlich passend. |
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11.02.2011, 22:59 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hm ja also das ergebnis klingt schon realistisch (fürn radius von nem zelt)...ne ich weis das ich falsch abgeleitet hab, weil ich jetz nen fehler gefunden hab. hmm ich probiers ableiten einfach nochmal...aber schonmal danke bis dahin |
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11.02.2011, 23:08 | Nelstar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Ansatz stimmt auf jeden Fall, er führt zum richtigen Ergebnis |
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12.02.2011, 09:35 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
puh also ich bring die ableitung davon einfach nich hin... A = 76.8*pi/r + pi*r*sqrt((28.8/r²)² + r²) mag jemand mal probieren ? |
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12.02.2011, 12:39 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
[attach]18090[/attach] Dies ist die Ableitung mit unserem Tool gerechnet. Warum es die 829,44 so unnötig verlängert, weiß ich nicht. Die Ableitung an sich ist nicht so wild, jetzt muss sie = 0 gesetzt werden und das x (bzw. r) ausgerechnet werden, und das ist nicht schön... Das werde ich im Laufe des Tages von einem Rechner machen lassen, kann aber nicht sagen, wann ich die Zeit dazu finde. |
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12.02.2011, 21:32 | Nelstar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann Substitution: Das entstehende f(u) lässt sich prima ableiten und im Anschluss vereinfachen Tipp dabei: |
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13.02.2011, 18:32 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok also A(u) = pi/(u²-28,8²)^1/6*(76,8 + u) A`(u) = -1/6*pi/(u² - 28.8²)^7/6*(76.8 + u) + pi*u/(u²-28,8²)^1/6 = 0 (mit (u²-28,8²)^1/6 multiplizieren und durch pi teilen) -1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u) + u = 0 müsst soweit stimmen oder ? |
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13.02.2011, 19:01 | Nelstar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Fast A`(u) = -1/6*pi/(u² - 28.8²)^7/6*(76.8 + u)*2u + pi*1/(u²-28,8²)^1/6 = 0 (mit (u²-28,8²)^1/6 multiplizieren und durch pi teilen) -1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u)*2u + 1 = 0 |
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13.02.2011, 19:26 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
jo nachdifferenzieren is ne gute sache -1/6*(u²-28.8²)^-1*(76.8 + u)*2u + 1 = 0 (dann mit (u²-28.8²) multipliziert) -1/3*u*(76.8 + u) + u² - 28.8² = 0 -12.8*u - 1/3*u² + u² -28.8² = 0 2/3*u² - 12.8*u - 28.8² = 0 (da haut dann mitternachtsformel aber nich hin...wo is der wurm ) |
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13.02.2011, 19:31 | Nelstar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1/3 von 76.8 ist nicht 12.8 |
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13.02.2011, 19:46 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aha so also u muss doch größer als 28.8 sein damit r = (u²-28.8²)^1/6 geht es kommt also nur ein u in frage (59.36) das eingesetzt ergibt nen radius von 3.73 metern. haste des gleich ergebnis ? |
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13.02.2011, 19:54 | Nelstar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube, das war mein Ergebnis, ja |
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13.02.2011, 20:07 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok cool dann muss ich jetz nur noch 2. ableitung machen um zu beweisen dass es ein tiefpunkt is |
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13.02.2011, 20:26 | chelsea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber magst du mir nochmal schnell sagen warum mann ne substitution machen muss ? |
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13.02.2011, 20:40 | Nelstar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht muss man es nicht ... aber irgendwie hatte ich das Gefühl, es könnte damit einfacher werden |
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