Quadratische Ergänzung Herleitung

Neue Frage »

Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Ergänzung Herleitung
Hallo Freunde,

ich versuche mich gerade daran, die Scheitelpunktform allgemein herzuleiten. Irgendwie bekomme ich das aber nicht auf die Reihe. In meinem Buch steht als allgemeine Formel,


(Wie schreibt man mit Latex eigentlich große Klammern? verwirrt )

Ich finde es allerdings ein wenig ungewohnt so zu rechnen da ich eigentlich die Normalform so gelernt habe,



btw.



Nun möchte ich es gerne herleiten, leider klappt es nicht mit meinen bekannten Normalformen oder wie muss ich an die Sache ran gehen? Gott

hangman smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

\left( bzw. \right)
___________________

Wie sieht die Ausgangsgleichung aus? Die darin befindlichen Konstanten sind dann natürlich in a, b, c bzw. p, q umzustellen.

mY+
 
 
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also in meinem Buch ist die Gleichung so angegeben,











Da die zumgeformte Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunktes enthält, heißt sie auch Scheitelpunktsgleichung der Parabel.



bzw.



Finde ich doch irgendwie kompliziert... verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der beschriebene Weg ist gängig.
Wenn du schon mit der Ableitung vertraut bist, kannst den x-Wert des Scheitels recht schnell berechnen aus:



und diesen in die Funktionsgleichung für den y-Wert einsetzen.

mY+
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Der beschriebene Weg ist gängig.
Wenn du schon mit der Ableitung vertraut bist, kannst den x-Wert des Scheitels recht schnell berechnen aus:



und diesen in die Funktionsgleichung für den y-Wert einsetzen.

mY+


Ja, klar kenne ich den Weg der Ableitung, allerdings interessiert mich auch dieser Weg. smile
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, falls mir noch jemand helfen möchte, ich bin mal folgendermaßen vorgegangen.






Nun q und p^2/4 auf einen HN bringen.



Irgendwie fehlt dort aber noch etwas... verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

in deinem Scheitelpunkt sollte der x-Wert negativ sein, sonst ist der erste Term de Funktion nicht Null, was er aber sein muss um ein Minimum für f(x) zu erzielen( Scheitel = Minimum )
[ nur für a2 > 0 ]

klar ist das kompliziert, wie immer in Mathe, wenn kein konkreter Fall vorliegt und der allgemeine Fall gerechnet wird, was aber dann wenigstens zu einer Formel führt. Augenzwinkern

eine solche Formel aufzustellen ist Mathematik, mit Beispielen zu rechnen ist Rechnen.

Wenn dir die Herleitung klar ist,dann Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman
...



...

Da hast du einen Vorzeichenfehler drinnen! Wenn du diesen berichtigst, kommst du genau auf die Lösungsformel der quadratischen Gleichung.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt zu deinen p,q Formeln:

siehe mythos
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also,





Ist das nun richtig? verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Zeile ist keine Gleichung. Dort sollte wohl rechts noch = 0 stehen.
Ansonsten stimmt es. Berechne nun x, bringe zuvor den Bruch nach rechts.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja

@mythos: ich versteh das nicht: immer wenn ich antworte ist Ihre Antwort nicht zu sehen,
wenn ich dann antworte ist Ihre Antwort dann (vor meiner ) da. Wie geht das?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso soll ich denn nach x auflösen? verwirrt
Ich möchte doch nur eine verallgemeinerung der Scheitelpunktbestimmung herleiten. verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

also jetzt versuch ich mal schneller wie mythos zu sein, mal sehen....

du wolltest ja den Fkt-term quadratisch ergänzen. das ist dir gelungen
Falls du aber die Nullstellen suchen würdest, wäre eine Auflösung nach x angebracht wie von mythos angesprochen Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunkt

Hier ist es auch nochmal angegeben. Allerdings lautet die Formel dort auch anders wie meine. Wo liegt denn mein Fehler?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es hat so ausgesehen, als ob du die Lösungsformel der quadratischen Gleichung herleiten wolltest.
---------
Dann ist es noch einfacher.
Es sollte dann so lauten:



Bei siehst du sofort die x-Koordinate des Scheitels, nämlich . Und rechts daneben steht die y-Koordinate direkt:

mY+
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wieso steht denn bei Wikipedia eine andere Formel? Da steht zum Beispiel bei der Bestimmung des x-Wertes, im Nenner 2a, ich habe allerdings nur 2 stehen? bei der y Berechnung ist es dasselbe. verwirrt

Heißt vielleicht meine Formel, dass ich gegebenfalls die Zahl vor dem x^2 immer erst ausklammern muss um x zu berechnen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap

Du siehst es tatsächlich als essentiell, wer schneller ist? Um was es hier im Board geht, sollte dir - als Helfer - eigentlich schon klar sein! Und findest du ein Eingreifen in die laufende Bearbeitung eines Threads ohne zwingenden Grund als gerechtfertigt an?

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman
...
Heißt vielleicht meine Formel, dass ich gegebenfalls die Zahl vor dem x^2 immer erst ausklammern muss um x zu berechnen?

Genau so ist es. Du bist zuletzt von einem normierten Polynom ausgegangen, also dort ist 1 der Koeffizient des quadratischen Gliedes. Beim allgemeinen Polynom war dieser jedoch a2.

mY+
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wie muss ich dann ansetzen? verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

bei der a2/a1/a0 Umformung sehe ich keinen Unterschied.
die p,q Funktion hast du noch gar nicht nach x aufgelöst.

Falls die Quadratische funktion ein a2 ungleich 1 hat, dann zuerst ausklammern, richtig!


@mythos: beileibe nicht!. ich hab mit der technik wie gesagt Probleme: ich schreib eine Antwort nachdem ich die seite frisch geladen habe und sehe erst nach dem abschicken dass inzwischen andere Antworten eingegangen sind! Damit komme ich nicht klar
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap,

ich möchte nicht die pq-Formel herleiten sondern eine allegemeine Formel zur Bestimmung des Scheitels.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap

Ich bin hier raus, mache bitte du weiter bzw. zu Ende.

mY+
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja macht jetzt garkeiner mehr weiter? unglücklich
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sorry ich hab mit der Technik ( zeitliche Abfolge ) probleme.

Also nochmal: die Schetelpunktsform in a2/a1/a0 Version war am Ende dann korrekt. Ich sah keinen Unterschied zu Wikipedia.

Die Scheitelpunktsform in p/q Version war auch o.k.
Was ist jetzt genau dein Problem?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass ich damit nur den Scheitel von quadratischen Funktionen der Form x^2+px+q bestimmen kann, allerdings nicht der Form ax^2+bx+c.

Das ist das Problem.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es jetzt nochmal mit der Form gemacht,











Also die x-Koordinate des Scheitels kann man damit berechnen, allerdings mit der y-Koordinate des Scheitels klappt das irgendwie nicht ... verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

der trick ist nun einfach der, das a "wegzubringen" indem man es ausklammert.
Bei a*x^2 ist das logisch, aber wie klammere ich a aus b*x und a aus c aus?
Ganz einfach: beide Terme mit a erweitern, und dann kann man auch dort, wo ürsprünglich a kein Faktor war, a ausklammern.
Wenn man a ausgeklammert hat, hat man in der klammer die p-q Form, mit p=b/a und q=c/a.
Darauf das p-q Schema anwenden und fasst fertig. Dann wieder mit a reinmultiplizieren und fertig ist a/b/c Scheitelform.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also durch kürzen ändert sich doch trotzdem nichts an der Summe.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Dein letzter Umwandlungsschritt stimmt nicht.
Wo ist da a vor der ersten Klammer hin? Hast du es in den hinteren Bruch mit rein?
Dann hast du es falsch mit rein Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe es so gemacht.





Wo ist denn mein Fehler? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du klammerst aus, vergiss also das a vor der ersten Klammer nicht Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du lieferst auf Wunsch immer neue Terme, die oft falsch sind.
Also ich glaub´man muss es dir vorrechnen. aber nicht mehr heut nacht......
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

@ Dopap. Vorrechnen ist nicht.
Rechenfehler schleichen sich bei jedem ein Augenzwinkern Und er ist fast fertig.
Noch ein Umformungsschritt. Mit vorrechnen wärs hier also ohnehin nicht mehr weit :P


@ hangman:

Das hast du (verbesserte Version) jetzt stehen:



Dreh die beiden letzteren Summanden noch um und kürze mit a. Dann biste fertig smile
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also,







So? wenn nicht, gehe ich jetzt erstmal schlafen! verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht nötig, dass auf einen Nenner zu bringen.

Ich hab grad was gefunden, was weiterhilft. Ist nur noch ein Schritt Augenzwinkern

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Erg%C3%A4nzung


Ich bin auch im Bett. Gute Nacht Wink
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Rechnung ist aber doch genau so wie sie dort angegeben ist? bloß dass ich noch das c mit auf den bruch geholt habe...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das a vor der Klammer vergessen.

Deine Vorzeichen stimmen nicht. Beachte das Minus vor dem Bruch.
(Schreibe es einfach in dem du das Minus in den Bruch holst und vor den Bruch ein +
schreibst) smile


Du hast vom zweiten in den dritten Schritt das Vorzeichen "geändert".
Nur falschrum :P
Das Vorzeichen der zweiten Zeile stimmt wie gesagt nicht (siehe obiger Tipp)


Bin wech. Gute Nacht
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Wo du es sagst Big Laugh
Jetzt habe ich es richtig!

Tausend dank smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »