Quadratische Ergänzung Herleitung

11.02.2011, 20:21

Cheftheoretiker

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Quadratische Ergänzung Herleitung

Hallo Freunde,

ich versuche mich gerade daran, die Scheitelpunktform allgemein herzuleiten. Irgendwie bekomme ich das aber nicht auf die Reihe. In meinem Buch steht als allgemeine Formel,

$\begin{eqnarray*} S(\frac{a_1}{2a_2};\frac{4a_0a_2-a_1^2}{4a_2}) \end{eqnarray*}$
(Wie schreibt man mit Latex eigentlich große Klammern? verwirrt

verwirrt

)

Ich finde es allerdings ein wenig ungewohnt so zu rechnen da ich eigentlich die Normalform so gelernt habe,

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

btw.

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich es gerne herleiten, leider klappt es nicht mit meinen bekannten Normalformen oder wie muss ich an die Sache ran gehen? Gott

Gott

hangman

smile

11.02.2011, 20:42

mYthos

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\left( bzw. \right)
___________________

Wie sieht die Ausgangsgleichung aus? Die darin befindlichen Konstanten sind dann natürlich in a, b, c bzw. p, q umzustellen.

mY+

11.02.2011, 21:00

Cheftheoretiker

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Also in meinem Buch ist die Gleichung so angegeben,

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2*\left(x^2+\frac{a_1}{a_2}x+\frac{a_0}{a_2}\right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2*\left[\left(x^2+\frac{a_1}{a_2}x+\left(\frac{a_1}{2a_2}\right)^2\right)+\frac{a_0}{a_2}-\left(\frac{a_1}{2a_2}\right)^2\right] = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2*\left[\left(x+\frac{a_1}{2a_2}\right)^2+\frac{4a_0a_2-a_1^2}{4a_2^2}\right] = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2*\left(x+\frac{a_1}{2a_2}\right)^2+\frac{4a_0a_2-a_1^2}{4a_2} \end{eqnarray*}$

Da die zumgeformte Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunktes enthält, heißt sie auch Scheitelpunktsgleichung der Parabel.

$\begin{eqnarray*} S\left(\frac{a_1}{2a_2};\frac{4a_0a_2-a_1^2}{4a_2}\right) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_2*\left(x+\frac{a_1}{2a_2}\right)+\frac{4a_0a_2-a_1^2}{4a_2} \end{eqnarray*}$

Finde ich doch irgendwie kompliziert... verwirrt

verwirrt

11.02.2011, 21:24

mYthos

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Der beschriebene Weg ist gängig.
Wenn du schon mit der Ableitung vertraut bist, kannst den x-Wert des Scheitels recht schnell berechnen aus:

$\begin{eqnarray*} f \ '(x) = 2a_2x + a_1 = 0 \end{eqnarray*}$

und diesen in die Funktionsgleichung für den y-Wert einsetzen.

mY+

11.02.2011, 21:25

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von mYthos
Der beschriebene Weg ist gängig.
Wenn du schon mit der Ableitung vertraut bist, kannst den x-Wert des Scheitels recht schnell berechnen aus:

$\begin{eqnarray*} f \ '(x) = 2a_2x + a_1 = 0 \end{eqnarray*}$

und diesen in die Funktionsgleichung für den y-Wert einsetzen.

mY+

Ja, klar kenne ich den Weg der Ableitung, allerdings interessiert mich auch dieser Weg. smile

smile

11.02.2011, 21:40

Cheftheoretiker

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Hm, falls mir noch jemand helfen möchte, ich bin mal folgendermaßen vorgegangen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+px+q = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+px+q+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-q-\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \end{eqnarray*}$

Nun q und p^2/4 auf einen HN bringen.

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\frac{-4q-p^2q}{4q} \end{eqnarray*}$

Irgendwie fehlt dort aber noch etwas... verwirrt

verwirrt

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11.02.2011, 21:43

Dopap

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in deinem Scheitelpunkt sollte der x-Wert negativ sein, sonst ist der erste Term de Funktion nicht Null, was er aber sein muss um ein Minimum für f(x) zu erzielen( Scheitel = Minimum )
[ nur für a2 > 0 ]

klar ist das kompliziert, wie immer in Mathe, wenn kein konkreter Fall vorliegt und der allgemeine Fall gerechnet wird, was aber dann wenigstens zu einer Formel führt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

eine solche Formel aufzustellen ist Mathematik, mit Beispielen zu rechnen ist Rechnen.

Wenn dir die Herleitung klar ist,dann Freude

Freude

11.02.2011, 21:49

mYthos

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Zitat:

Original von hangman
...
$\begin{eqnarray*} x^2+px+q+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-q-\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \end{eqnarray*}$
...

Da hast du einen Vorzeichenfehler drinnen! Wenn du diesen berichtigst, kommst du genau auf die Lösungsformel der quadratischen Gleichung.

mY+

11.02.2011, 21:51

Dopap

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jetzt zu deinen p,q Formeln:

siehe mythos

11.02.2011, 21:57

Cheftheoretiker

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Also,

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\frac{4q-p^2}{4} \end{eqnarray*}$

Ist das nun richtig? verwirrt

verwirrt

11.02.2011, 22:05

mYthos

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Die letzte Zeile ist keine Gleichung. Dort sollte wohl rechts noch = 0 stehen.
Ansonsten stimmt es. Berechne nun x, bringe zuvor den Bruch nach rechts.

mY+

11.02.2011, 22:08

Dopap

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ja

@mythos: ich versteh das nicht: immer wenn ich antworte ist Ihre Antwort nicht zu sehen,
wenn ich dann antworte ist Ihre Antwort dann (vor meiner ) da. Wie geht das?

11.02.2011, 22:08

Cheftheoretiker

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Wieso soll ich denn nach x auflösen? verwirrt

verwirrt

Ich möchte doch nur eine verallgemeinerung der Scheitelpunktbestimmung herleiten. verwirrt

verwirrt

11.02.2011, 22:17

Dopap

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also jetzt versuch ich mal schneller wie mythos zu sein, mal sehen....

du wolltest ja den Fkt-term quadratisch ergänzen. das ist dir gelungen
Falls du aber die Nullstellen suchen würdest, wäre eine Auflösung nach x angebracht wie von mythos angesprochen Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2011, 22:18

Cheftheoretiker

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http://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunkt

Hier ist es auch nochmal angegeben. Allerdings lautet die Formel dort auch anders wie meine. Wo liegt denn mein Fehler?

11.02.2011, 22:19

mYthos

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Es hat so ausgesehen, als ob du die Lösungsformel der quadratischen Gleichung herleiten wolltest.
---------
Dann ist es noch einfacher.
Es sollte dann so lauten:

$\begin{eqnarray*} y = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4} \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} (x + \frac p 2)^2 \end{eqnarray*}$ siehst du sofort die x-Koordinate des Scheitels, nämlich $\begin{eqnarray*} -\frac p 2 \end{eqnarray*}$ . Und rechts daneben steht die y-Koordinate direkt: $\begin{eqnarray*} q - (\frac p 2)^2 \end{eqnarray*}$

mY+

11.02.2011, 22:25

Cheftheoretiker

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Ja aber wieso steht denn bei Wikipedia eine andere Formel? Da steht zum Beispiel bei der Bestimmung des x-Wertes, im Nenner 2a, ich habe allerdings nur 2 stehen? bei der y Berechnung ist es dasselbe. verwirrt

verwirrt

Heißt vielleicht meine Formel, dass ich gegebenfalls die Zahl vor dem x^2 immer erst ausklammern muss um x zu berechnen?

11.02.2011, 22:27

mYthos

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@Dopap

Du siehst es tatsächlich als essentiell, wer schneller ist? Um was es hier im Board geht, sollte dir - als Helfer - eigentlich schon klar sein! Und findest du ein Eingreifen in die laufende Bearbeitung eines Threads ohne zwingenden Grund als gerechtfertigt an?

mY+

11.02.2011, 22:30

mYthos

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Zitat:

Original von hangman
...
Heißt vielleicht meine Formel, dass ich gegebenfalls die Zahl vor dem x^2 immer erst ausklammern muss um x zu berechnen?

Genau so ist es. Du bist zuletzt von einem normierten Polynom ausgegangen, also dort ist 1 der Koeffizient des quadratischen Gliedes. Beim allgemeinen Polynom war dieser jedoch a2.

mY+

11.02.2011, 22:31

Cheftheoretiker

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Ja und wie muss ich dann ansetzen? verwirrt

verwirrt

11.02.2011, 22:35

Dopap

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bei der a2/a1/a0 Umformung sehe ich keinen Unterschied.
die p,q Funktion hast du noch gar nicht nach x aufgelöst.

Falls die Quadratische funktion ein a2 ungleich 1 hat, dann zuerst ausklammern, richtig!

@mythos: beileibe nicht!. ich hab mit der technik wie gesagt Probleme: ich schreib eine Antwort nachdem ich die seite frisch geladen habe und sehe erst nach dem abschicken dass inzwischen andere Antworten eingegangen sind! Damit komme ich nicht klar

11.02.2011, 22:38

Cheftheoretiker

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@Dopap,

ich möchte nicht die pq-Formel herleiten sondern eine allegemeine Formel zur Bestimmung des Scheitels.

11.02.2011, 22:44

mYthos

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@Dopap

Ich bin hier raus, mache bitte du weiter bzw. zu Ende.

mY+

11.02.2011, 22:57

Cheftheoretiker

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Ja macht jetzt garkeiner mehr weiter? unglücklich

unglücklich

11.02.2011, 23:29

Dopap

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sorry ich hab mit der Technik ( zeitliche Abfolge ) probleme.

Also nochmal: die Schetelpunktsform in a2/a1/a0 Version war am Ende dann korrekt. Ich sah keinen Unterschied zu Wikipedia.

Die Scheitelpunktsform in p/q Version war auch o.k.
Was ist jetzt genau dein Problem?

11.02.2011, 23:31

Cheftheoretiker

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Das Problem ist, dass ich damit nur den Scheitel von quadratischen Funktionen der Form x^2+px+q bestimmen kann, allerdings nicht der Form ax^2+bx+c.

Das ist das Problem.

11.02.2011, 23:45

Cheftheoretiker

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Ich habe es jetzt nochmal mit der Form gemacht,

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\left(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}^2-(\frac{b}{2a}^2\right)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)\right]+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2a+4a^2c}{4a^2} \end{eqnarray*}$

Also die x-Koordinate des Scheitels kann man damit berechnen, allerdings mit der y-Koordinate des Scheitels klappt das irgendwie nicht ... verwirrt

verwirrt

11.02.2011, 23:54

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

der trick ist nun einfach der, das a "wegzubringen" indem man es ausklammert.
Bei a*x^2 ist das logisch, aber wie klammere ich a aus b*x und a aus c aus?
Ganz einfach: beide Terme mit a erweitern, und dann kann man auch dort, wo ürsprünglich a kein Faktor war, a ausklammern.
Wenn man a ausgeklammert hat, hat man in der klammer die p-q Form, mit p=b/a und q=c/a.
Darauf das p-q Schema anwenden und fasst fertig. Dann wieder mit a reinmultiplizieren und fertig ist a/b/c Scheitelform.

11.02.2011, 23:57

Cheftheoretiker

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Also durch kürzen ändert sich doch trotzdem nichts an der Summe.

12.02.2011, 00:10

Equester

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Dein letzter Umwandlungsschritt stimmt nicht.
Wo ist da a vor der ersten Klammer hin? Hast du es in den hinteren Bruch mit rein?
Dann hast du es falsch mit rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2011, 00:16

Cheftheoretiker

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Ja, ich habe es so gemacht.

$\begin{eqnarray*} a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2})+c = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2a}{4a^2}+c \end{eqnarray*}$

Wo ist denn mein Fehler? verwirrt

verwirrt

12.02.2011, 00:24

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du klammerst aus, vergiss also das a vor der ersten Klammer nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2011, 00:34

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

du lieferst auf Wunsch immer neue Terme, die oft falsch sind.
Also ich glaub´man muss es dir vorrechnen. aber nicht mehr heut nacht......

12.02.2011, 00:37

Equester

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@ Dopap. Vorrechnen ist nicht.
Rechenfehler schleichen sich bei jedem ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und er ist fast fertig.
Noch ein Umformungsschritt. Mit vorrechnen wärs hier also ohnehin nicht mehr weit :P

@ hangman:

Das hast du (verbesserte Version) jetzt stehen:

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2a}{4a^2}+c \end{eqnarray*}$

Dreh die beiden letzteren Summanden noch um und kürze mit a. Dann biste fertig smile

smile

12.02.2011, 00:46

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Also,

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2a}{4a^2}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2a+4a^2c}{4a^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{b}{2a})^2+\frac{b^2-4ac}{4a} \end{eqnarray*}$

So? wenn nicht, gehe ich jetzt erstmal schlafen! verwirrt

verwirrt

12.02.2011, 00:48

Equester

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Es ist nicht nötig, dass auf einen Nenner zu bringen.

Ich hab grad was gefunden, was weiterhilft. Ist nur noch ein Schritt Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Erg%C3%A4nzung

Ich bin auch im Bett. Gute Nacht Wink

Wink

12.02.2011, 00:52

Cheftheoretiker

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Meine Rechnung ist aber doch genau so wie sie dort angegeben ist? bloß dass ich noch das c mit auf den bruch geholt habe...

12.02.2011, 00:58

Equester

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Du hast das a vor der Klammer vergessen.

Deine Vorzeichen stimmen nicht. Beachte das Minus vor dem Bruch.
(Schreibe es einfach in dem du das Minus in den Bruch holst und vor den Bruch ein +
schreibst) smile

smile

Du hast vom zweiten in den dritten Schritt das Vorzeichen "geändert".
Nur falschrum :P
Das Vorzeichen der zweiten Zeile stimmt wie gesagt nicht (siehe obiger Tipp)

Bin wech. Gute Nacht

12.02.2011, 01:00

Cheftheoretiker

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Wo du es sagst Big Laugh

Big Laugh

Jetzt habe ich es richtig!

Tausend dank smile

smile

12.02.2011, 10:15

Equester

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Gern geschehen Wink

Wink

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