Folgenkriterium bei Stetigkeit sin(1/x)

11.02.2011, 21:56

Marroni

Folgenkriterium bei Stetigkeit sin(1/x)

Meine Frage:
Hallo

Ich soll zeigen, dass die Funktion in x0=0 nicht stetig ist:
$\begin{eqnarray*} \sin(1/x) : x\neq0 \wedge 0 : x= 0 \end{eqnarray*}$

Nun wurde mir gesagt, ich solle dies mit dem Folgenkriterium und der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1/(\pi /2+ n\pi) \end{eqnarray*}$ zeigen. Ich kenne zwar die Definition des Folgenkriteriums, nur verstehe ich nicht wie ich das anwenden soll?

Meine Ideen:
Meine Idee war folgende:
der Limes aus 1/x für x->0 geht gegen unendlich. Der Sinus aus unendlich existiert aber nicht bzw. er oszilliert im Bereich von -1 und 1. Und da kein Grenzwert existiert, ist die Folge im Punkt x=0 auch nicht stetig.

Nun ist dies nicht sehr Mathematisch und das Folgenkriterium ist das ja auch nicht oder?

Wäre dankbar um Hilfe smile

11.02.2011, 22:27

Cel

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RE: Folgenkriterium bei Stetigkeit sin(1/x)
Hi,

Zitat:

Original von Marroni
Nun ist dies nicht sehr Mathematisch und das Folgenkriterium ist das ja auch nicht oder?

das Folgenkriterium ist sehr mathematisch. Es sagt dir in deinem Fall, dass für jede Folge, die gegen 0 konvergiert, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~f(x_n) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Deine angegebene Folge konvergiert gegen 0, bilde mal den Funktionwert und du wirst sehen ... Idee!

11.02.2011, 22:41

Marroni

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Also heisst das, dass ich beim Folgenkriterium zuerst das 1/x für x->unendlich anschauen muss und da dies gegen 0 geht muss auch sin(1/x) gegen 0 für x->unendlich (bzw. sin(unendlich)) gehen. Falls dies der Fall ist, ist meine Folge stetig ansonsten nicht. Hier wäre sie ja nicht stetig.

Verstehe ich dies richtig?
Falls ja, würde dies dann auch bedeuten, wenn z.b. (1+1/n)^n, n->unendlich gegen e geht, dann müsste sin(1+1/n)^n auch gegen e gehen oder funktioniert dies nur bei Nullfolgen?

12.02.2011, 00:21

Cel

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Zitat:

Original von Marroni
Verstehe ich dies richtig?

Nein. Das hat mit dem 1/x nichts zu tun. Das hat mit dieser besonderen Stelle x = 0 zu tun. Noch mal das Folgenkriterium:

$\begin{eqnarray*} f \text{ ist stetig in } a \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \forall~ (x_n)_n \subseteq \mathbb{R}: ~x_n \to a ~(n \to \infty) \Rightarrow~f(x_n) \to f(a) ~(n \to \infty) \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall ist a = 0, die Stetigkeit ist sonst überall klar. Bei solchen Aufgaben musst du dir die problematischen Stellen heraussuchen (hier 0), dann eine Folge suchen, die gegen diese problematische Stelle konvergiert, deren Funktionswert aber nicht gegen den gewünschten konvergiert. Hier geht das sehr schön, denn wie lautet der Funktionswert der angegebenen Folge?

12.02.2011, 08:55

Marroni

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Okay neuer Versuch:

Da meine kritische Stelle bei a=0 liegt und meine Folge sin(...) theoretisch auch gegen 0 konvergieren kann, darf ich das Folgenkriterium anwenden. wenn ich jetzt aber x->0 streben lasse, dann müsste ich den sin(unendlich) ziehen, dieser oszilliert aber und strebt somit nicht eindeutig gegen 0. Daraus folgt, dass meine Folge nicht stetig ist im Punkt 0.

Eine kleine Abänderung zum Verständnis:
Meine Folge muss für x=0 gegen 0 konvergieren, weil die Folge so definiert wurde. wäre jetzt theoretisch angegeben gewesen, dass für x=0 f(x)=1 wäre, dann müsste ich meine Folge für x->0 gegen 1 konvergieren lassen, dann wäre sie nach dem Folgenkriterium stetig. Die Voraussetzung wäre wiederum, dass meine Folge überhaupt gegen 1 konvergieren kann.

12.02.2011, 12:40

Cel

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Zitat:

Original von Marroni
Meine Folge muss für x=0 gegen 0 konvergieren, weil die Folge so definiert wurde. wäre jetzt theoretisch angegeben gewesen, dass für x=0 f(x)=1 wäre, dann müsste ich meine Folge für x->0 gegen 1 konvergieren lassen, dann wäre sie nach dem Folgenkriterium stetig. Die Voraussetzung wäre wiederum, dass meine Folge überhaupt gegen 1 konvergieren kann.

Immer noch nein. Lies dir noch mal meine Definition mit dem Folgenkriterium durch.
Du verwechselst den Punkt der Stetigkeit mit dem Funktionswert an der Stelle. Wenn für x = 0 f(x) = 1 wäre, dann bräuchtest du immer noch eine Funktion, die gegen 0 konvergiert. Der Funktionswert dieser Folge müsste dann gegen 1 konvergieren.

Desweiteren finde ich deinen ersten Satz sehr komisch, den verstehe ich gar nicht. Allgemein formulierst du merkwürdig. Eine Folge konvergiert für x gegen 0 gegen 1? Folgen konvergieren für n gegen Unendlich.

Und damit du es vielleicht ein wenig besser verstehst, bilde bitte den Funktionswert deiner angegebenen Folge. Mach das wirklich mal, dann wirst du sehen, warum die Funktion nicht stetig ist.

12.02.2011, 15:10

Marroni

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Ach mist, ich glaube jetzt versteh ich von was du schreibst, du meinst mit der Folge die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1/(\pi /2+ n\pi) \end{eqnarray*}$ , die ich angegeben habe. Ich hab von sin(1/x) als Folge gesprochen, aber das wäre ja dann die Funktion.

Okay, jetzt nochmals von vorne smile

Der Sinn des Folgenkriteriums ist es, eine Folge zu finden, die gegen meine kritische Stelle konvergiert für n->unendlich. Die kritische Stelle wäre hier ja 0 (da x=0 in der Funktion sin(1/x) nicht definiert ist).

Falls das stimmen sollte: Ist es denn relevant, ob meine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1/(\pi /2+ n\pi) \end{eqnarray*}$ ist oder ob sie $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1/(n\pi) \end{eqnarray*}$ ist? Falls es relevant wäre, wäre ich froh um eine Erklärung.

Ersetzt ich eigentlich dann bei sin(1/x) nur das x mit der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1/(\pi /2+ n\pi) \end{eqnarray*}$ oder ersetze ich den ganzen Ausdruck 1/x mit der Folge so, dass 1/ $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1/(\pi /2+ n\pi) \end{eqnarray*}$ =unendlich für n->unendlich?

12.02.2011, 15:19

Cel

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Wir nähern uns an ... Schön, dass du so toll mitmachst. Freude

Die zweite Folge, die du angibst, könnte man zum Widerlegen der Stetigkeit nicht nehmen. $\begin{eqnarray*} \tilde a_n = \frac{1}{n \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ führt nicht zu einem Widerspruch des Folgenkriteriums. Du kannst es ja mit dieser Folge auch mal durchrechnen.

Und zu deiner zweiten Frage: Man bildet $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ , setzt also für x $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ein. Hier: $\begin{eqnarray*} f(a_n) = \sin\left(\frac{1}{a_n}\right) \end{eqnarray*}$ . Was kommt da heraus? Und was kommt für die von dir vorgeschlagene Folge heraus? Gegen was konvergieren die beiden Funktionswerte? Bedenke: Wäre f in 0 stetig, müssten sie beiden gegen 0 konvergieren.

12.02.2011, 15:56

Marroni

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Also dann kommt $\begin{eqnarray*} f(a_n) = \sin\left(\frac{1}{a_n}\right) \end{eqnarray*}$ =1 raus.

Für den anderen Funktionswert weiss ich jetzt nicht welchen ich von den drei Möglichkeiten nehmen soll:
sin(1/x) für x->0 gibt sin(unendlich) bzw. oszilliert oder sin(0)=0. Oder muss ich den Wert nehmen, für welchen x=0 definiert worden ist, nämlich =0.

Alle drei wären ja ungleich 1 und somit wäre bewiesen, dass die Funktion dort nicht stetig ist.

Zitat:
"Die zweite Folge, die du angibst, könnte man zum Widerlegen der Stetigkeit nicht nehmen. $\begin{eqnarray*} \tilde a_n = \frac{1}{n \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ führt nicht zu einem Widerspruch des Folgenkriteriums. Du kannst es ja mit dieser Folge auch mal durchrechnen."

In dem Fall würde ich aber für eine stetige Funktion keine Folge finden, die die Stetigkeit widerlegen würde.

12.02.2011, 16:23

Cel

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Da kommt 1 raus, genau. Und wogegen konvergiert das? Gegen 1. Müsste aber gegen 0 konvergieren. Als Vergleichswert musst du übrigens f(0) = 0 nehmen. Eben den definierten Wert.

Mit der anderen Folge solltest du keine andere Funktion untersuchen, sondern dieselbe. Immerhin darf man jede Folge wählen, die gegen Null konvergiert. $\begin{eqnarray*} \tilde a_n \end{eqnarray*}$ tut dies auch, aber es gilt $\begin{eqnarray*} f(\tilde a_n) = 0 \end{eqnarray*}$ . Das konvergiert gegen 0 = f(0). Die Nichtsteigkeit kann man mit dieser Folge also nicht zeigen.

12.02.2011, 16:27

Marroni

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Oh super, danke schön für deine Geduld und rasche Antworten smile

jetzt hab ich endlich das Folgenkriterium verstanden =)

12.02.2011, 17:44

Ravenlord

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Zitat:

Original von Marroni
Also dann kommt $\begin{eqnarray*} f(a_n) = \sin\left(\frac{1}{a_n}\right) \end{eqnarray*}$ =1 raus.

Wollte kurz noch anmerken, dass bei der gewählten Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} := \frac{1}{\frac{\pi}{2} + n\pi} \end{eqnarray*}$ der Limes $\begin{eqnarray*} lim f(a_{n}) \end{eqnarray*}$ nicht existiert, d.h. ungleich 1 ist. Springt quasi zwischen 1 und -1 hin und her.
Aber damit ist auch die Nichtstetigkeit gezeigt. Wink

12.02.2011, 18:21

Cel

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Danke dafür. Möchte man die Nichtkonvergenz mit einem konstanten Funktionswert einer Folge zeigen, dann muss man in der Ursprungsfolge statt n 2n schreiben. Wink

12.02.2011, 19:08

kein mathestudent

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Ich habe noch eine Frage. Der Grenzwert der Folge a_n für n gegen unendlich ist $\begin{eqnarray*} \frac 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Warum wurde ausgerechnet so eine Folge konstruiert? Was bringt das? Muss man $\begin{eqnarray*} \sin(\frac 1 {a_n}) \end{eqnarray*}$ setzen? Da kommt als Grenzwert dann 1 raus. Was sagt mir das aus?
Kann jemand ein Beispie für die Folgenstetigkeit für eine stetige oder stetig behebbare Funktion konstruieren? Danke!

12.02.2011, 19:33

Cel

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Zitat:

Original von kein mathestudent
Der Grenzwert der Folge a_n für n gegen unendlich ist $\begin{eqnarray*} \frac 2 \pi \end{eqnarray*}$ .

Welcher Folge? Alle Folgen, die hier im Thread definiert wurden, konvergieren gegen 0 ...

Es dürfte schwierig sein, die ganze Theorie mal eben aufzuzählen. Such dir doch am besten ein Beispiel raus, was du nicht verstehst und eröffne einen neuen Thread. smile

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