Krümmung (Rechenfrage)

11.02.2011, 22:29

Leo1234

Krümmung (Rechenfrage)

Guten Abend!

Ich hätte eine Frage.
Sei folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} \alpha(t) = (rcos(t), rsin(t), \frac{h}{2 \pi} t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha'(t) = (-rsin(t), rcos(t), \frac{h}{2 \pi}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha''(t) = (-rcos(t), -rsin(t), 0) \end{eqnarray*}$

Was ist dann:
$\begin{eqnarray*} \alpha'(t) \times \alpha''(t) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ||\alpha'(t) \times \alpha''(t)|| \end{eqnarray*}$

?

Ich frage deshalb, weil meine Ergebnisse nicht mit denjenigen aus meinen Übungsbesprechungsnotizen übereinstimmen...
(Momentan geht es mir nur um das Ergebnis: Falls sich Eure Lösungen mit meiner unterscheidet, werde ich weitere Fragen stellen ;-) )

Liebe Grüsse,
Leo

11.02.2011, 23:06

Cel

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N'Abend,

sag du doch mal, was du heraus hast. Ein kleiner Tipp: Es (die Norm) muss etwas konstantes sein, Helixe haben konstante Krümmung und Torsion. Augenzwinkern

11.02.2011, 23:15

Leo1234

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Also für
$\begin{eqnarray*} \alpha'(t) \times \alpha''(t) \end{eqnarray*}$
habe ich:

$\begin{eqnarray*} - \frac{h}{2 \pi} rcos(t), \frac{h}{2 \pi} (-rcos(t)), r^2 \end{eqnarray*}$

Nur: Das stimmt eben schon nicht mit meinen Notizen überein...
Deshalb wollte ich fragen, was ihr bei dieser Rechnung erhaltet.

12.02.2011, 00:09

Cel

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Schau dir noch mal die Definition des Kreuzproduktes an. Deine erste Komponente stimmt nicht, die hinteren beiden schon.

12.02.2011, 02:49

Leo1234

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Ah ja, ich korrigiere:

$\begin{eqnarray*} \alpha'(t) \times \alpha''(t) = ( \frac{h}{2 \pi} rsin(t), \frac{h}{2 \pi} (-rcos(t)), r^2 ) \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} ||\alpha'(t) \times \alpha''(t)|| = \sqrt{ \frac{h^2 r^2}{4*pi^2} + r^2 } \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt so?

12.02.2011, 13:03

Cel

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So stimmt es, genau. smile

12.02.2011, 13:13

Leo1234

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Vielen herzlichen Dank! smile

..da hat sich also doch ein Fehler in meine Notizen aus der Übungsbesprechung rein geschlichen - dacht ich's mir smile

12.02.2011, 14:45

Leo1234

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Ich hätte noch 'nen kleinen Nachtrag.

$\begin{eqnarray*} || \alpha'(t) ||^3 = \sqrt{ r^2+ \frac{h^2}{4 \pi^2} }^3 \end{eqnarray*}$

und dann wäre die Krümmung:

$\begin{eqnarray*} K(t) = \frac{ \sqrt{ \frac{h^2 r^2}{4 \pi^2} +r^2}}{ \sqrt{r^2+ \frac{h^2}{4 \pi^2}}^3} \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das falsch?

12.02.2011, 14:47

Cel

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Zitat:

Original von Leo1234
$\begin{eqnarray*} ||\alpha'(t) \times \alpha''(t)|| = \sqrt{ \frac{h^2 r^2}{4*pi^2} + r^2 } \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt so?

Nachtrag: Hinten muss ein $\begin{eqnarray*} r^4 \end{eqnarray*}$ stehen, so dass du unter der Wurzel ein r² ausklammern kannst. Aus diesem r² kannst du dann die Wurzel ziehen und bei der Krümmung noch ein bisschen kürzen.

12.02.2011, 15:04

Leo1234

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Ah genau, das ging auch in meinen Notizen plötzlich verloren.
Jetzt stimmts - vielen Dank! smile

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