Sinus und Cosinus ableiten

12.02.2011, 11:23

lauli

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Sinus und Cosinus ableiten

Im Internet habe ich gefunden, dass die Ableitung von
f(x)=sin(g(x))
f'(x)=g'(x)*cos(g(x))
ist.

Wie wendet man das jetzt auf
f(x)=x*sin(1/2x²+2)
an?

Bei mir kam raus: f'(x)=x²*cos(1/2x²+2)
Von der Tafel hatte ich aber f'(x)=sin(1/2x²+2)+xcos(1/2x²+2)*x abgeschrieben.

12.02.2011, 11:29

system-agent

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RE: Sinus und Cosinus ableiten

Zitat:

Original von lauli
Im Internet habe ich gefunden, dass die Ableitung von
f(x)=sin(g(x))
f'(x)=g'(x)*cos(g(x))
ist.

Ja, das ist einfach die Kettenregel.

Zitat:

Original von lauli
Wie wendet man das jetzt auf
f(x)=x*sin(1/2x²+2)
an?

Das kannst du nicht ganz direkt anwenden, denn bei dir steht wird der Sinus noch mit einem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziert - und das schreit nach der Produktregel.

12.02.2011, 11:33

lauli

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Danke für Deine Antwort.
Kann es sein, dass die Produktregel die Gleiche ist wie die Regel, die man bei e-Funktionen anwenden muss? Die verstehe ich nämlich nicht.

verwirrt

verwirrt

traurig

12.02.2011, 11:34

lauli

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...und muss man sie NUR dann anwenden, wenn ein x vornedran steht?

12.02.2011, 11:43

system-agent

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Die Produktregel musst du anwenden, wenn du ein Produkt zweier Funktionen ableiten willst.

Hier ist die eine Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x \end{eqnarray*}$ und die andere Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto\sin\left(\frac{1}{2}x²+2\right) \end{eqnarray*}$

18.05.2011, 22:06

miss luci

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auch wenn ich jetzt was "altes" wieder ausgrabe, aber dort liegt mein problem.

Zitat:

Von der Tafel hatte ich aber f'(x)=sin(1/2x²+2)+xcos(1/2x²+2)*x abgeschrieben.

ich habe andere "Einzelteile" beim ableiten und lande bei:

$\begin{eqnarray*} f(x)=xsin(\frac{1}{2} x^{2}+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(\frac{1}{2}x^{2} +2)+xsin(x) \end{eqnarray*}$

da:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)v(x)+ v'(x)u(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x)=xsin \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=cos \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x)=(\frac{1}{2} x^{2} +2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=x \end{eqnarray*}$

ich muss es aufsplitten, sonst krieg ichs nicht auf die kette... wo ist der denkfehler?

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19.05.2011, 12:42

opi

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Deine Einzelteile sind durch Anwendung roher Gewalt entstanden.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot sin\left(\frac{1}{2} x^{2}+2\right) \end{eqnarray*}$

Das Produkt besteht aus folgenden Teilen:
$\begin{eqnarray*} u(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=sin\left(\frac{1}{2} x^{2}+2\right) \end{eqnarray*}$

Eine Winkelfunktion darf nicht von ihrem Argument getrennt werden,
$\begin{eqnarray*} f(x)=sin \end{eqnarray*}$
ist sinnlos.

19.05.2011, 23:17

miss luci

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da hätte ich auch selber drauf kommen können...

trotzdem komme ich nicht von a nach b,

u'(x)=1

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\cos(\frac{1}{2} x^{2}+2 ) *x \end{eqnarray*}$ ??

19.05.2011, 23:42

Inka

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Da bist Du schon ganz gut dabei!

Jetzt fehlt noch die allgemeine Formel für Produktregel (die Du sehr wahrscheinlich auch kennst) und ich sehe schon, dass die Lösung "von der Tafel" passt perfekt =))

21.05.2011, 20:26

miss luci

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Danke, die steht ja weiter oben, wollte nur auf Nummer sicher gehen.

wie siehts denn aus wenn die Funktion in der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} +\sin(3x) \end{eqnarray*}$ vorliegt?

$\begin{eqnarray*} u(x)=x^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=3x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x)=\sin(3x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=\cos(3x) *1 \end{eqnarray*}$

21.05.2011, 20:39

miss luci

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lande ich dann richtig bei

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{2} *\sin(3x) +x^{3} *\cos(3x) \end{eqnarray*}$ ?

21.05.2011, 20:47

opi

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Deine Funktion ist kein Produkt, ich nehme an, daß Du Dich vertippt hast.

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\cos(3x) *1 \end{eqnarray*}$

ist falsch, die innere Ableitung von 3x ist nicht 1.

21.05.2011, 21:13

miss luci

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$\begin{eqnarray*} v'(x)=\cos (3x)*3 \end{eqnarray*}$

21.05.2011, 21:19

opi

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Freude

In der Hoffnung, daß Du die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} \cdot \sin(3x) \end{eqnarray*}$

meinst.

21.05.2011, 21:20

miss luci

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eben nicht, deshalb hab ich ja probleme.

21.05.2011, 21:53

opi

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Ah, dann hast Du keine Probleme, sondern eine Lösung! Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} +\sin(3x) \end{eqnarray*}$

Hier wird jeder Summand einzeln abgeleitet, es sind (bis auf die Kettenregel beim Sinus) keine besonderen Regeln nötig. Die Ableitungen der Summanden kennst Du bereits, es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 3x^2 + 3 \cdot cos(3x) \end{eqnarray*}$

21.05.2011, 22:07

miss luci

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na geil, ich habs wieder komplizierter gemacht als es ist Finger1

Finger1

21.05.2011, 22:19

opi

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Und die Anwendung der Produktregel auf Summen führt (fast) nie auf das richtige Ergebnis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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