LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung

12.02.2011, 15:40

SternchenJulia

LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung

Meine Frage:
Hallo,
eine kurze Frage Augenzwinkern

Wenn ich bei der Spaltenpivotisierung in der zweiten Spalte angelangt bin, also in der ersten schon meine Nullen erzeugt habe, bis auf das erste Element, sortiere ich dann nur noch nach den unteren Zeilen, also Zeile 2 und folgende?

Meine Ideen:
Als Beispiel hatten wir auf einem Übungsblatt die Matrix
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aus Spaltenpivotisierung folgt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann hatte ich "Nullen" erzeugt bzw die eigentlichen Null-Elemente mit den Einträgen der späteren L-Matrix gefüllt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 2/3 & -1/3 & -4/3 \\ 1/3 & -2/3 & -5/3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und anschließend das selbe mit der zweiten Spalte gemacht.
Das war nun aber anscheiend falsch, wodurch ich zu dem Schluss gekommen bin, dass ich wohl immer eine Spaltenpivotisierung durchführen muss.
Lieg ich da richtig?
Julia

12.02.2011, 16:07

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung

Zitat:

Original von SternchenJulia
Meine Ideen:
Als Beispiel hatten wir auf einem Übungsblatt die Matrix
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aus Spaltenpivotisierung folgt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Schritt verstehe ich nicht...was du machst ist Zeilenpivotierung, und zwar zweimal, einmal wäre ausreichend gewesen.

Bei Zeilenpivotierung reicht es, die erste und die dritte Zeile zu vertauschen.

Wenn du Spaltenpivotierung machen möchtest dann musst du erste und dritte Spalte vertauschen.

Und da diese Matrix nicht positiv definit ist musst du pivotieren

12.02.2011, 16:18

SternchenJulia

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ok, dann heißt das wohl Zeilenpivotisierung.
Aber wir haben in der Übung gelernt, dass man die Elemente der 1. Spalte nach ihrem Betrag sortieren muss, warum reicht dann 1x tauschen aus?
und müsste ich dann später nochmal die Zeilen nach der 2. Spalte tauschen?

12.02.2011, 16:21

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SternchenJulia
Hm, ok, dann heißt das wohl Zeilenpivotisierung.

Es heisst Zeilenpivotierung wenn du die Zeilen vertauschst, und Spaltenpivotierung, wenn du die Spalten vertauschst smile

hat Sinn, oder?

Zitat:

Original von SternchenJulia
Aber wir haben in der Übung gelernt, dass man die Elemente der 1. Spalte nach ihrem Betrag sortieren muss, warum reicht dann 1x tauschen aus?
und müsste ich dann später nochmal die Zeilen nach der 2. Spalte tauschen?

Dann habt ihr vielleicht andere Schritte als allgemein üblich gemacht, poste mal deine komplette Rechnung

12.02.2011, 17:06

SternchenJulia

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, in der Übung hatten wir folgendes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 6 \\ -2 & 24 & -3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix} 8 \\ 18 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zeilenpivotisierung nach der 1. Spalte Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ -2 & 24 & -3\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
"Nullstellen" erzeugen in der 1. Spalte
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ -1/2 & 25 & 0\\ 1/4 & 5/2 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann in der zweiten Spalte
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ -1/2 & 25 & 0\\ 1/4 & 1/10 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und damit haben wir ja schon die Zerlegung
$\begin{eqnarray*} PA=LR: \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 6 \\ -2 & 24 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ -1/2 & 1 &0\\ 1/4 & 1/10 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0& 0 & 1/2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann ebene vorwärts- und rückwärts einsetzten.

Auf dem Übungsblatt hatten wir dann die Aufgabe, die ich vorhin ja schon angegeben habe:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aus Zeilenpivotisierung folgt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann hatte ich "Nullen" erzeugt bzw die eigentlichen Null-Elemente mit den Einträgen der späteren L-Matrix gefüllt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 2/3 & -1/3 & -4/3 \\ 1/3 & -2/3 & -5/3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann hatte ich gleich weitergemacht mit "Nullen"
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 2/3 & -1/3 & -4/3 \\ 1/3 & -2 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und das war dann anscheinend falsch, hier steht dann in der Korrektur, dass noch ein Zeilentausch notwendig gewesen wäre.
also würde ich jetzt so weitermachen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 1/3 & -2/3 & -5/3 \\ 2/3 & -1/3 & -4/3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 1/3 & -2/3 & -5/3 \\ 2/3 & 1/2 & -1/2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
PA=LR:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 &0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 \\ 1/3 & 1 & 0 \\ 2/3 & 1/2 &1\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 3 & 8 & 14 \\ 0 & -2/3 & -5/3 \\ 0 &0 & -1/2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/latex][/latex]

Neue Frage »

Antworten »

LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung

Verwandte Themen