Zerlegung von R

27.11.2006, 23:25	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung von R Sorry, dass ich mich so lang nicht mehr gemeldet habe. Ich bin nun auf ein neues Problem gestoßen: Es ist ja bekanntlich möglich, eine Menge mit der Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph _{0} \end{eqnarray}$ in disjunkte Teilmengen zu zerlegen, deren Vereinigung die Gesamtmenge ergibt. Dabei ist es erreichbar, dass die Kardinalität jeder einzelnen Menge $\begin{eqnarray} \aleph _{0} \end{eqnarray}$ beträgt, auch die Kardinalität der Menge aller Mengen beträgt $\begin{eqnarray} \aleph _{0} \end{eqnarray}$ (ich sehe jetzt in diesem Fall die Mengen als die gezählten Objekte innerhalb der großen Mengen-Menge. Nun mein Problem: Es ist auch möglich, $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in Mengen mit Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph _{0} \end{eqnarray}$ zu zerlegen, wobei die Mengen-Menge die Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph_{1} \end{eqnarray}$ . Auch ist es möglich, $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in Mengen der Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph _{1} \end{eqnarray}$ zu zerlegen, wobei die Mengen-Menge die Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph _{0} \end{eqnarray}$ besitzt. Bekanntlich besitzt die Vereinigung von $\begin{eqnarray} \aleph _{1} \end{eqnarray}$ Mengen mit der Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph _{1} \end{eqnarray}$ ebenfalls die Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph _{1} \end{eqnarray}$ . Nun müsste sich auch für $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eine derartige Zerlegung finden lassen: Die Kardinalität der einzelnen Mengen beträgt jeweils $\begin{eqnarray} \aleph _{1} \end{eqnarray}$ , die Kardinalität der Mengen-Menge beträgt $\begin{eqnarray} \aleph _{1} \end{eqnarray}$ . (die gezählten Objekte in der Mengen-Menge sind noch immer die Mengen) Kurzum: Gibt es eine Zerlegung von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in überabzählbar viele überabzählbare Mengen? Allerdings tritt folgendes Problem auf: Wenn ich $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in Mengen aus separaten Einzelpunkten zerteile, bekomme ich nur Teilmengen der Kardinalität $\begin{eqnarray} \aleph _{0} \end{eqnarray}$ . Sobald ich aber nicht-leere Intervalle von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ auswähle, erhalten sie ein Maß und die Kardinalität der Mengen-Menge wird $\begin{eqnarray} \aleph _{0} \end{eqnarray}$ , egal wie ich es anstelle. Bei einem reellen Raum mit abzählbar unendlich vielen Dimensionen wäre eine derartige Zerlegung möglich, indem ich die Zerlegung auf die unendlichen Teilmengen der Dimensionen verteile. Wenn dieser Raum aber gleichmächtig mit $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist, warum finde ich dann für $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ keine Zerlegung? Die Kontinuumshypothese scheint nichts mit meinem Problem zu tun zu haben, und ich brüte schon drei Tage über diesem Problem und komme auf keinen grünen Zweig. Kann mir ein Mengenlehre-Profi hier helfen? Carsten
27.11.2006, 23:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist das Problem? Bekanntlich sind $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ gleichmächtig, z.B. sei $\begin{eqnarray} T:\;\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine entsprechende Bijektion. Und mit der hast du sofort eine derartige Zerlegung, wie du sie wünschst: $\begin{eqnarray} \mathbb{R} = \bigcup\limits_{x\in \mathbb{R}} T(x,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$
28.11.2006, 18:41	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre es also eine logische Zerlegung, wenn ich es so machen würde $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in Teilmengen zu unterteilen, in denen alle Nachkommaziffern an den ungeraden Stellenzahlen übereinstimmen? Diese Zerlegung macht jetzt zumindest Sinn, da ich damit eine überabzählbare Menge aus überabzählbaren Mengen hinbekommen habe. Dass ich das mitm $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ nicht gemerkt habe, hatte nen einfachen Grund: Ich hab den Wald wohl vor lauter Kardinalitäten nicht mehr gesehen.

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