berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide

12.02.2011, 19:18

marcel314

berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide

hallo

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Gegeben ist eine regelmäßige quadratische Pyramide, deren Höhe h das r-fache der Grundkante a ist.
a)Skizzieren Sie eine solche Pyramide in einem Koordinatensystem. Stellen Sie in Abhängigkeit von a und r Gleichungen der Ebenen auf, in der die Seitenflächen liegen.
b) Bestimmen Sie r so, dass der Winkel zwischen benachbarten Seitenflächen 60° ist.

Hier ist erstmal ein Bild von der Pyramide:

[attach]18103[/attach]

Bitte lade Bilder immer mit "Dateianhänge" hoch.
Danke, Gualtiero

die Eckpunkte der Grundfläche sind A, B, C, D. Der Mittelpunkt der Grundfläche ist M, die Spitze der Pyramide ist S, die Strecke von A nach S ist K.

Die Pyramide habe ich so gelegt, dass A die Koordinaten (0/0/0) hat. Somit ist die Länge des Vektors B =a. Und die Länge vom Vektor D auch =a. Mit dem Pythagoras habe ich die Länge des Vektors AC errechnet: a²+a²=AC²
----> AC = (wurzel aus 2) * a
Die Länge vom Vektor M ist die Hälfe von der Länge vom Vektor AC, also (wurzel aus 2) * a/2.
Die Länge vom Vektor K habe ich auch mit dem Pythagoras errechnet:
((wurzel aus 2) * a/2 )² + (r*a)² = K²
----> Länge von K = 1/2 * a² + r²*a²
Weil A ja der Ursprung ist, ist die Länge von K ja auch die Länge vom Vektor S.

So jetzt habe ich die ganzen Längen errechnet, habe aber keine Ahnung wie ich damit eine Ebenengleichung basteln kann....

12.02.2011, 20:15

riwe

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RE: berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide
ich würde versuchen (mit hilfe des kruezproduktes) die normalenvektoren von 2 benachbarten seitenebenen zu berechnen

12.02.2011, 20:45

marcel314

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RE: berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide

Zitat:

Original von riwe
ich würde versuchen (mit hilfe des kruezproduktes) die normalenvektoren von 2 benachbarten seitenebenen zu berechnen

is das so richtig?:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b2*s3-b3*s2 \\ b3*s1-b1*s3 \\ b1*s2-b2*s1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kann man da irgendwie s1,s2,s3 und b1,b2,b3 mit a und r ersetzten? dann könnte man mit dem normalenvektor ja die Ebenengleichung aufstellen.

12.02.2011, 21:46

riwe

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RE: berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide
mach´s dir nicht so schwer.
mit A(0/0/0) kannst du ja so wählen:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}=(1,0,0)^T \wedge \vec{b}=(0,1,0)^T \end{eqnarray*}$
und damit kannst du nun den vektor $\begin{eqnarray*} \vec{h} \end{eqnarray*}$ basteln.
daraus berechnest du nun mit dem kreuzprodukt die
beiden oben genannten normalenvektoren und bildest deren skalarprodukt.

(natürlich kann man das ganze auch ganz allgemein rechnen)

12.02.2011, 22:18

marcel314

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RE: berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide
der Mittelpunkt M müssen dann
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}* \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}^T + \frac{1}{2}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$
sein.
Der vektor h müsste ja M+ (0/0/1)^(T*r) sein also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0 \end{pmatrix}^T + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}^{T*r} \end{eqnarray*}$
Da bin ich mir nicht ganz sicher ergibt das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 1 \end{pmatrix}^{T*r} \end{eqnarray*}$ ?
is das soweit richtig oder hab ich mist gebaut? xD
Dann müsste man ja mit dem Kreuzprodukt von Vektor A bzw B mit vektor H den normalenvektor der Ebenen herausbekommen.

12.02.2011, 22:58

riwe

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RE: berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide
der vektor von A zur spitze S heißt daher:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AS}=\begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot r \end{eqnarray*}$

so ist´s richtig. Augenzwinkern

damit schaut auch der normalenvektor anders aus
du hattest ja das "r" verloren

12.02.2011, 23:52

marcel314

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RE: berechnen einer regelmäßigen, quadratischen Pyramide
ok cool danke wenn das in der nächsten Klausur drankommt hab ichs drauf Freude

das zeug werd ich morgen ma ausrechnen und evt dann hier ma posten

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