Folgenkriterium

12.02.2011, 21:13

kein mathestudent

Folgenkriterium

Hi,

ich verstehe nicht, wie ich die Stetigkeit mittels des Folgenkriteriums zeigen kann. Definition Folgenkriterium:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{D}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{D} \end{eqnarray*}$ , wenn für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit Elementen $\begin{eqnarray*} x_k\in\mathbb{D} \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, auch $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Wenn ich die Funktion auf Stetigkeit untersuchen möchte, wie mache ich das mit der Folgenstetigkeit? Wie gehe ich da vor?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0, & \text{wenn }x\le 0\\ \sqrt x, & \text{wenn }x>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Danke.

12.02.2011, 21:33

Merlinius

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Damit die Funktion stetig ist, musst sie an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig sein. Das heißt, Du fängst z.b. an mit "sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig".

Dann wendest Du einfach die Definition an. Diese besagt: "für jede Folge...". Also gibst Du eine nicht näher bestimmte Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ vor, die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, und versuchst zu schließen, dass $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ konvergiert (indem Du natürlich $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in die Funktionsvorschrift einsetzt.

Hier ist es bei stückweise definierten Funktionen sinnvoll, Fallunterscheidungen bzgl. des $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ durchzuführen (z.B. bei der angegebenen). Denn klar: $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist ja ganz anders definiert auf den einzelnen Abschnitten des Definitionsbereichs.

Bei dieser Aufgabe stellt sich mir allerdings die Frage, ob Ihr in der Vorlesung vielleicht schon die Stetigkeit der Wurzelfunktion und der konstanten Funktion gezeigt habt. Dann musst Du die Stetigkeit natürlich nicht nochmal extra auf jedem Punkt des Definitionsbereichs zeigen (weil es ja für die meisten Punkte schon bekannt ist), sondern nur ausgesuchten, fragwürdigen Stellen (welche könnten das hier sein?).

12.02.2011, 21:52

kein mathestudent

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Die fragwürdige Stelle ist hier x=0, die es insbesondere zu untersuchen gibt. Das versuche ich nun.
Sei $\begin{eqnarray*} x_0=0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\to x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(x_0) \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
Ist das so korrekt?

12.02.2011, 22:09

Merlinius

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Erstmal:

Zitat:

Original von kein mathestudent
Die fragwürdige Stelle ist hier x=0, die es insbesondere zu untersuchen gibt. Das versuche ich nun.
Sei $\begin{eqnarray*} x_0=0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\to x_0 \end{eqnarray*}$ .

Wieso "dann konvergiert"? Du fängst an, indem Du eine Folge nimmst, die gegen 0 konvergiert. Also sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge mit: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \in \mathbb N} x_n = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt musst Du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \in \mathbb N} f(x_n) = f(0) \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(x_0) \end{eqnarray*}$

Das musst Du beweisen! Wenn das immer so wäre, wären ja alle Funktionen stetig. Also die Folge in die Funktion einsetzen und schauen, was mit den Funktionswerten passiert. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, kann hier natürlich auf beiden Seiten der 0 verlaufen. Das musst Du beachten. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} x_n > 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ anders, als wäre es $\begin{eqnarray*} < 0 \end{eqnarray*}$ .

12.02.2011, 23:07

kein mathestudent

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Zitat:

Original von Merlinius
Wieso "dann konvergiert"? Du fängst an, indem Du eine Folge nimmst, die gegen 0 konvergiert. Also sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge mit: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \in \mathbb N} x_n = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt musst Du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \in \mathbb N} f(x_n) = f(0) \end{eqnarray*}$ gilt.

Wie zeige ich das denn? So vielleicht? $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \in \mathbb N} f(x_n) = f(\lim\limits_{n \in \mathbb N} x_n) = f(x_0) = f(0)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Merlinius
Das musst Du beweisen! Wenn das immer so wäre, wären ja alle Funktionen stetig. Also die Folge in die Funktion einsetzen und schauen, was mit den Funktionswerten passiert. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, kann hier natürlich auf beiden Seiten der 0 verlaufen. Das musst Du beachten. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} x_n > 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ anders, als wäre es $\begin{eqnarray*} < 0 \end{eqnarray*}$ .

Also muss eine Fallunterscheidun her, für x_n>0 und x_n<0? Aber wären das nicht zwei verschiedene Folgen oder konstruiere ich mir die Folge gleich so?

12.02.2011, 23:31

Merlinius

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Zitat:

Original von kein mathestudent

Zitat:

Wie zeige ich das denn? So vielleicht? $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \in \mathbb N} f(x_n) = f(\lim\limits_{n \in \mathbb N} x_n) = f(x_0) = f(0)=0 \end{eqnarray*}$

Nein, das erste Gleichheitszeichen ist genau die Definition von Stetigkeit. Das musst Du zeigen.

Zitat:

Also muss eine Fallunterscheidun her, für x_n>0 und x_n<0? Aber wären das nicht zwei verschiedene Folgen oder konstruiere ich mir die Folge gleich so?

Also bei der Konvergenz gegen 0 ist es ja zum Glück etwas einfacher als bei anderen Werten. Eine Folge konvergiert gegen 0 genau dann, wenn sie betragsmäßig konvergiert.

Jetzt musst Du zeigen, dass diese Folge $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ geht. Ihr werdet ja sicher die Konvergenz von Folgen behandelt haben. Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ...

Ich geb Dir noch folgenden Ansatz: Also $\begin{eqnarray*} \lim f(x_n) = 0 \Leftrightarrow \lim |f(x_n)| = 0 \end{eqnarray*}$ Und $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq f(|x_n|) \end{eqnarray*}$ für Deine Funktion (Wieso?) Folgere daraus jetzt die Konvergenz.

13.02.2011, 11:56

kein mathestudent

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Danke für deine Geduld Merlinius

Zitat:

Original von Merlinius
Jetzt musst Du zeigen, dass diese Folge $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ geht. Ihr werdet ja sicher die Konvergenz von Folgen behandelt haben. Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ...

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \exists \delta(\epsilon, x_0) \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|=|\frac{\delta}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|=|\frac{\delta}{\sqrt{x}+0}|=|\frac{\delta}{\sqrt{x}}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht mehr weiter. Wie muss ich das $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon,x_0) \end{eqnarray*}$ nun wählen? Das ist ja für mich das epsilon-delta-Kriterium. Ich habe noch nie ein Beispiel für das Folgenkriterium gesehen, sodass ich auch keine Ahnung habe, wie man damit die Stetigkeit von Funktionen zeigt.

Zitat:

Original von Merlinius
Ich geb Dir noch folgenden Ansatz: Also $\begin{eqnarray*} \lim f(x_n) = 0 \Leftrightarrow \lim |f(x_n)| = 0 \end{eqnarray*}$ Und $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq f(|x_n|) \end{eqnarray*}$ für Deine Funktion (Wieso?) Folgere daraus jetzt die Konvergenz.

Auch dieser Tipp bringt mir nichts, Begründung siehe oben. unglücklich

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