Schnittpunkt/Schnittwinkel zweier e-Funktionen

12.02.2011, 22:42

Semih

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Schnittpunkt/Schnittwinkel zweier e-Funktionen

Meine Frage:
Guten Abend,
ich bin in der 13. Klasse und übe gerade für die Mathe-LK-Klausur, die in Abiturlänge geschrieben wird. (Probe-Abitur)

1)
Ich habe die Funktionen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+3)e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

2)
Um den Schnittwinkel zu berechnen müsste ich die 1. Ableitung gleichsetzen, oder?

Meine Ideen:
1)
Gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+3)e^{-0,5x}=e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich in einem anderen Thread hier im Forum gelesen, dass Substitution behilflich sein könnte. Also habe ich folgendes gemacht:
(x+3)z=z
xz+3z=z
xz=-2z

Wenn ich mir meine Zeichnung ansehe müsste -2 richtig sein und in den Lösungen der Aufgaben steht auch, dass -2 rauskommen muss.

Ich weiß aber nicht, wie ich das z wegbekomme. Ich hab einfach mal geteilt durch z gemacht und rauskommt nach Kürzen:
x=-2

Das Ergebnis ist ja richtig aber ist der Rechenweg auch richtig so? Meine Lehrerin hat da so einen Spruch: "Ich rufe ganz sicher nicht bei dir an, wenn ich die Klausur korrigiere, was du genau gemacht hast/gemeint hast."

Deshalb wollte ich nochmal sicher gehen.

2)
Es müssten 72,7 Grad rauskommen.

12.02.2011, 22:44

tigerbine

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RE: Schnittpunkt/Schnittwinkel zweier e-Funktionen
Warum willst du die Ableitungen gleich setzen? Solltest nicht eher den Schnittpunkt der Funktionen ermitteln?

Der Schnittwinkel entspricht dort dann dem Schnittwinkel der Tangenten an die Funktionen. Dort kommt die erste Ableitung ins Spiel.

12.02.2011, 22:48

Nelstar

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Du darfst die Gleichung nur durch z teilen, wenn es definitiv nicht 0 werden kann.

Eleganter wäre: nach dem Gleichsetzen alles auf eine Seite der Gleichung bringen, den e-Anteil ausklammern, dann in Teilgleichungen zerlegen.

12.02.2011, 22:50

Nelstar

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RE: Schnittpunkt/Schnittwinkel zweier e-Funktionen

Zitat:

Original von Semih"Ich rufe ganz sicher nicht bei dir an, wenn ich die Klausur korrigiere, was du genau gemacht hast/gemeint hast."

Ja, beim Korrigieren stellen sich Lehrer gerne doof Big Laugh

Big Laugh

12.02.2011, 22:52

Semih

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Achja, stimmt ja.

d.h.

f'(-2)=-0,5e
g'(-2)=-0,5e

Das müssten ja dann die Steigungen der Tangenten sein, wenn ich mich nicht irre!?

Als Nächstes steht hier, dass Alpha und Beta jeweils -53,7° und 53,7° sind.

Wie kommt man darauf?

Wenn ich 180° mit der Summe beider Beträge der Winkeln subtrahiere, kommt auch 72,7° als Schnittwinkel raus.
Der Zwischenschritt auf Alpha und Beta ist mir noch unklar.

*EDIT*

@Nelstar
Wenn ich beides auf eine Seite bringe kürzen sich doch beide e-Funktionen und x=-3 kommt raus!?
Was mache ich falsch?

12.02.2011, 22:57

tigerbine

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Siehst du, so doof ist ihr Spruch nicht. Und Recht hat sie. Freude

Freude

Was in diesem Thread fehlt ist z.B. die Formulierung der Aufgabenstellung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich nehme also an, du hast den Schnittpunkt (-2|e) von f und g nun also ermittelt und interessierst dich für den Schnittwinkel. Deine Rechnung kann nicht stimmen, denn die gleiche Steigung haben die Graphen von f und g sicher nicht.

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12.02.2011, 22:57

Nelstar

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Ist da nicht ein Fehler in der Berechnung von f' oder g' ?

Tipp zum Winkel: $\begin{eqnarray*} m = \tan(\gamma ) \end{eqnarray*}$

12.02.2011, 22:59

Nelstar

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Zitat:

@Nelstar
Wenn ich beides auf eine Seite bringe kürzen sich doch beide e-Funktionen und x=-3 kommt raus!?

Wie möchtest du es denn auf die andere Seite bringen?

12.02.2011, 23:10

Semih

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@tigerbine

Gegeben ist die Funktion f(x)=(x+3) * e^-0,5x

a) ...
...
...
...
f) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen der Funktionen f und g(x)=e^-0,5x. Unter welchem Winkel schneiden sich diese beiden Kurven?

Lösung zu f) :
x=-2
S(-2/e)

g'(-2)=-0,5e
Alpha=-53,7°

f'(-2)=0,5e
Beta=53,7°

Schnittwinkel Gamma=72,7°

(ich hatte ein Vorzeichen vorher vergessen anzugeben)

@Nelstar
Ich denke mit e^-0,5x teilen, oder?
Dann kürzen sie sich doch?

Aber ich hab es noch mal so hier versucht:

http://i51.tinypic.com/123mmhv.jpg
Jetzt müsste aber das selbe Problem wie mit geteilt durch z sein, oder?

12.02.2011, 23:19

tigerbine

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Na, mit $\begin{eqnarray*} f'(-2)=0.5e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(-2)=-0.5e \end{eqnarray*}$ sieht es doch schon besser aus.

Für den Steigungswinkel von f - blaue Gerade gilt:

$\begin{eqnarray*} \alpha_f = \tan^{-1}(0.5e) \approx 53.65 \end{eqnarray*}$

Analog

$\begin{eqnarray*} \alpha_g = \tan^{-1}(-0.5e) \approx -53.65 \end{eqnarray*}$

Macht einen Winkel zwischen der blauen und der lila Geraden von 107,31°>90°. Daher ist der gesuchte Schnittwinkel 180°-107,31°=72,69°.

12.02.2011, 23:19

Nelstar

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Zitat:

Original von Semih
@Nelstar
Ich denke mit e^-0,5x teilen, oder?
Dann kürzen sie sich doch?

Aber ich hab es noch mal so hier versucht:

http://i51.tinypic.com/123mmhv.jpg

Also doch -2, wie gewünscht Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Jetzt müsste aber das selbe Problem wie mit geteilt durch z sein, oder?

Ja

Big Laugh

Eleganter wäre:

$\begin{eqnarray*} ( x + 3 ) \cdot e^{- 0.5 x} = e^{- 0.5 x} || - e^{- 0.5 x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ( x + 3 ) \cdot e^{- 0.5 x} - e^{- 0.5 x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{- 0.5 x} \cdot ( x + 3 - 1 ) = 0 \end{eqnarray*}$

Und dann in zwei Gleichungen zerlegen.

Frage an dich: warum ist deine Lösung dennoch möglich?

12.02.2011, 23:55

Semih

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x+2=0
x=-2

e^-0,5x\neq0

An deine Frage:
Weil es Algebra ist?

Das mit dem Schnittwinkel habe ich nun auch begriffen.
Dankeschön.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

LK-Niveau:
g) Vom Punkt P(5/0) sollen Tangenten an den Graphen von f gelegt werden.
Bestimmen Sie die Berührpunkte und die Tangentengleichungen.

Ich habe nichts verstanden!
P(5/0) ist ein Punkt der doch gar nicht auf dem Graphen liegt.
Es sollen "mehrere" Tangentengleichungen bestimmt werden inkl. Berührpunkte.
Ich gucke nochmal im Buch, ob es da schon vorgemacht wurde.

Lösung:
Tangente in P(5/0) mit Berührpunkt B(t / f(t) )
Berührbedingung:
I. f'(t)=m
II. f(t)=y(t) führt auf t^2-2t+1=0 , t=1

Verstehe nur die erste Bedingung, was gemeint sein könnte!

*EDIT*
1. Ableitung:
f'(x)=-0,5*(x+1)*e^-0,5x

12.02.2011, 23:59

Nelstar

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Zitat:

Original von Semih
x+2=0
x=-2

e^-0,5x\neq0

An deine Frage:
Weil es Algebra ist?

Weil - wie du ja geschrieben hast - $\begin{eqnarray*} e^{-0,5x} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Man darf nicht durch 0 dividieren, und das tut man ja nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2011, 00:00

Semih

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Ach darauf war die Frage bezogen.
Danke. smile

smile

13.02.2011, 00:02

Nelstar

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Zitat:

LK-Niveau:
g) Vom Punkt P(5/0) sollen Tangenten an den Graphen von f gelegt werden.
Bestimmen Sie die Berührpunkte und die Tangentengleichungen.

Die Steigung m zwischen den Punten P und B muss der Steigung von f(x) in B entsprechen.

Stell doch mal Gleichungen für beide Steigungen auf.

13.02.2011, 00:08

Semih

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Womit denn?

13.02.2011, 00:11

Nelstar

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Die beiden beliebtesten Arten, auf die man Steigungen berechnet: Differenzenquotient bzw. Ableitung. In diesem Fall in Abhängigkeit der x-Koordinate von B Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2011, 00:12

Nelstar

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doppelt

13.02.2011, 00:25

Semih

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Tut mir leid. Ich verstehe gerade gar nichts.

Wir suchen eine Tangente, die den Berührpunkt B am Graphen f hat und durch den Punkt P(5/0) geht, oder?

Dann ist doch die Nullstelle von der Tangente $\begin{eqnarray*} x_{0}=5 \end{eqnarray*}$ .

Dann wissen wir noch, dass es sich um eine lineare Funktion handelt:
y=ax+n

Dazu fällt mir halt nur ein:
t=mx+n
m ist die Steigung und kriegen wir mit der Ableitung raus einer Funktion.

Von welcher Funktion soll ich denn jetzt die Ableitung bilden?

13.02.2011, 00:31

Nelstar

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Bevor du dir über die Tangentengleichung Gedanken machen kannst, musst du zwei Gleichungen aufstellen:

1.) Steigung von f(x) in B über f'
2.) Steigung zwischen P und B über Differenzenquotient

13.02.2011, 00:40

Semih

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1.
rein theoretisch:
$\begin{eqnarray*} f(x_{B})=f'(x_{B})*x + f(0) \end{eqnarray*}$

oder?

13.02.2011, 00:44

Nelstar

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Zitat:

Original von Semih
1.
rein theoretisch:
$\begin{eqnarray*} f(x_{B})=f'(x_{B})*x + f(0) \end{eqnarray*}$

oder?

$\begin{eqnarray*} f(x_{B})=f'(x_{B})*x_{B} + t(0) \end{eqnarray*}$

Und: nein, die brauchst du nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur die ganz normale Ableitung, halt mit x_{B} (oder t oder irgendeinen anderen Parameter)

13.02.2011, 00:46

Semih

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2.
$\begin{eqnarray*} m=-1 \end{eqnarray*}$
?
aber das ist doch falsch laut lösungsblatt

13.02.2011, 00:47

Nelstar

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Zitat:

Original von Semih
2.
$\begin{eqnarray*} m=f'(x_{B}) \end{eqnarray*}$

Das ist die 1.

Die 2. ist wie schon erwähnt der Differenzenquotient Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2011, 13:04

ahi

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@semih. zu der Frage mit dem Berührpunkt B und dem Punkt (5/0).....
du musst die funktion f (x) ableiten, da der der berührpunkt der nicht bekannt ist auf dem graphen f liegt. .....Beachte : du kannst x mit einer anderen variable ersetzen zb. mit u. Nun stellst die die funktion für u auf , d.h. f(u)=(u+3)*e^(-0.5u).
Dann leitest du diese funktoin f(u) ab.
Daraufhin ersezt die die stiegung die du nun hast,(vgl.ableiten.) und für x=u und f(u) in die allgeimenformel der linearen gleichung ein und berechnest das n.
NUn hast du eine allg. tangentengleihun für den grapfen von f, und kannst gemütlich den punkt (5/0) einsetzten. wenn du das gemacht hast müsste für u=1,753 rauskommen.Dann ist der punkt b ( 1.753/f(1,753)).
schließlich musst du 1,753 in die 1.Ableiuntg einsetzen dun sein tangente bestimmen .....
hoffe konnte dir helfen
lg Ahi

13.02.2011, 13:27

ahi

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also so geht man allg. vor und das hier ist ja nur eine lösung smile

smile

13.02.2011, 13:46

Nelstar

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Bei mir ist u=1 geschockt

geschockt

13.02.2011, 13:58

ahi

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welceh funktion hast du genommen? alslo f(x)=...

13.02.2011, 14:05

Nelstar

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u=1 stimmt laut Zeichnung Big Laugh

Big Laugh

13.02.2011, 14:19

ahi

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welche tangentenglechung hast du ?

13.02.2011, 15:11

Nelstar

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$\begin{eqnarray*} t(x) = e^{-0.5} \cdot (5-x) \end{eqnarray*}$

Aber Semih ist eh noch nicht soweit Big Laugh

Big Laugh

13.02.2011, 16:12

ahi

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iwie kann ich es nicht nachvollziehen, aber es wird shcon stimmen smile

smile

, wenn so etwas gerades rauskommt ....
du hast socn die funktion $\begin{eqnarray*} (x+3)*e^(-0,5x) \end{eqnarray*}$ genommen oder?

13.02.2011, 16:14

Nelstar

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Danke für das Vertrauen Big Laugh

Big Laugh

13.02.2011, 16:15

ahi

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f(x)=(x+3)*e^(-0,5x)

13.02.2011, 16:15

ahi

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jezz interessiert mich aber was ich falsch gemacht hab ?!

13.02.2011, 16:29

Nelstar

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Keine Ahnung, ich konnte dir nicht folgen Big Laugh

Big Laugh

Hab deinen Weg nachgerechnet, der führt auch auf a = 1.

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