Untersuche Injektivität/Surjektivität einer Funktion

12.02.2011, 23:18

VinSander82

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Untersuche Injektivität/Surjektivität einer Funktion

Hallo Leute, also bei einer Aufgabe, ist mir die Lösung klar, wenn ich sie durch eine Zeichnung darstellen lasse. Nur frage ich mich wie ich das rechnerisch zeigen kann:

Die Aufgabe lautet: UNtersuche f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x): = 25- x^{2} \end{eqnarray*}$ , auf Injektivität und Surjektivität.

Ich weiss , dass sie nur Surjektiv sein kann

12.02.2011, 23:25

Iorek

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Dann würde ich dein Wissen gerne mal anzweifeln. unglücklich

unglücklich

Wie ist denn die Definition von injektiv/surjektiv? Beides kannst du direkt damit abhandeln.

12.02.2011, 23:45

VinSander82

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für injektiv: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \neq y \Rightarrow f (x)\neq f(y )\forall x,y \in A \end{eqnarray*}$

für surjektiv: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ zu jedem $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)= b \end{eqnarray*}$

12.02.2011, 23:48

VinSander82

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also injektiv kann's net sein, da die Funktion von der werte menge mehr als 1mal geschnitten wird. Dann ist sie auch nicht surjektiv, denn sie hat ein maximum und darüber hinaus wird sie nicht geschnitten.

13.02.2011, 00:02

Iorek

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Wie kann eine Wertemenge denn eine Funktion schneiden? geschockt

geschockt

Die Behauptung mit dem Maximum müsste noch bewiesen werden, einfacher wäre es aber sowohl für die Injektivität als auch für die Surjektivität einfach ein Gegenbeispiel anzugeben.

13.02.2011, 00:26

VinSander82

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ups , sorry

ja stimmt ein gegenbeispiel wäre eine gute idee

ich versuch's mal

vielen dank bis dahin

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14.02.2011, 15:09

VinSander82

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sorry hab total vergessen , dass ich ein Thread dafür schon geöffnet hatte :-(

ja das mit dem einsetzten hab ich schon gemacht, da kommt bei beiden 24 raus, also schonmal nicht injektiv, nur wie könnt ich etwas zeigen, wenn eine Funktion injektiv wäre ?

also rechnerisch, beweismäßi

f(x) = x als Beispiel, ist ja Injektiv, wie zeige ich das?

14.02.2011, 15:10

Iorek

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Fang an mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ und folgere daraus, dass dann schon $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ sein muss.

14.02.2011, 15:13

VinSander82

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also brauch ich zu allererst die umkehrfunktion?

das wäre x = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25 -y} \end{eqnarray*}$

also f(x) = $\begin{eqnarray*} 25 -x^{2} \end{eqnarray*}$
und f(y) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25 -y} \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

14.02.2011, 15:17

Iorek

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Wieso brauchst du denn die Umkehrfunktion? Die existiert in diesem Fall doch gar nicht. geschockt

geschockt

Fang einfach mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , also hier $\begin{eqnarray*} 25-x^2=25-y^2 \end{eqnarray*}$ , wenn du jetzt auf den Schluß kommst, dass $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ sein muss, dann ist die Funktion injektiv.

14.02.2011, 15:32

VinSander82

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oh ich dacht, ich muss um f(y) zu bekommen nach x auflösen. wusste nicht, dass man einfach für x , y einsetzten darf.. um so einfacher Big Laugh

Big Laugh

ja ich komme auf x = y, also heisst injektiv... finde ich nur komisch, weil durch Zeichnung oder Gegenbeispiel das gegenteil gezeigt wird, da ja x, y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

14.02.2011, 15:33

Iorek

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Du kommst bestimmt nicht auf x=y, es sei denn du hast dich vertan.

14.02.2011, 15:37

VinSander82

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leider ja, habe -25, dann mal (-1) und dann die Wurzel ergibt

x = y

14.02.2011, 15:37

Iorek

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Also ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

unglücklich

14.02.2011, 15:44

VinSander82

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Zitat:

Original von Iorek
Also ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}= \pm x \end{eqnarray*}$

14.02.2011, 15:45

Iorek

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Richtig: $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ .

Und damit kommst du eben nicht auf $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ .

14.02.2011, 15:51

VinSander82

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stimmt es kann nämlich $\begin{eqnarray*} -x = -y \vee -x \neq y \vee x = y \vee x \neq -y \end{eqnarray*}$

14.02.2011, 16:01

VinSander82

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wie stell ich das mit der surjektivität an, falls ich dich noch nerven darf Gott

Gott

14.02.2011, 16:15

Iorek

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Erstmal sollten wir uns noch um die Injektivität zu Ende kümmern, was willst du mit deinem letzten Post sagen? Außerdem: warum willst du unbedingt die Definition der Injektivität verwenden, wenn es ein simples Gegenbeispiel genauso gut und schneller tut?

14.02.2011, 16:21

VinSander82

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ich dacht das wär's mit der injektivität?

hab mich halt gefragt, was wenn es nicht so eibfach ist mit einem Gegenbeispiel

14.02.2011, 19:40

Iorek

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Im Normalfall (und damit meistens auch in einer Klausur) ist es einfacher ein Gegenbeispiel zu finden.

Deine verschiedenen Gleichungen stimmen so nicht, übersetz dir mal in Worte, was du da aufgeschrieben hast.

Du erhältst am Ende $\begin{eqnarray*} |x|=|y| \end{eqnarray*}$ , das könntest du jetzt vernünftig auflösen.

Für die Surjektivität reicht auch wieder ein einziges Gegenbeispiel.

14.02.2011, 20:08

VinSander82

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also die vier Möglichkeiten zu $\begin{eqnarray*} |x|= |y| \end{eqnarray*}$ habe ich ja schon gezeigt

war das nicht richtig??

echt ? aha , wenn ich also für x = 6 einsetze, so bekomme ich 25 - 36 = -9.. ist das richtig, dass negative Zahlen nicht als Funktionswerte angenommen werden?
und damit quasi schon gezeigt
vg

14.02.2011, 20:14

Iorek

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Was sollen denn die Ungleicheheitszeichen da oben?

Und für die Surjektivität sollst du nichts für x einsetzen, das bringt dich nicht weiter. Du sollst ein y finden, dass kein Urbild unter der Funktion f besitzt.

Wieso sollten negative Zahlen nicht als Funktionswerte angenommen werden können? verwirrt

verwirrt

14.02.2011, 20:33

VinSander82

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jetzt komm ich wieder durcheinander :-(

fu...

wie gehe ich an der injektiv weiter heran $\begin{eqnarray*} |x|= |y| \end{eqnarray*}$ das war der letzte stand

14.02.2011, 20:43

Iorek

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Lös den Betrag zu einer Seite hin auf, du hattest oben vermutlich das richtige machen wollen, es scheiterte lediglich an der Umsetzung: $\begin{eqnarray*} |y|=x ~\text{oder}~|y|=-x \end{eqnarray*}$ . Und hier kannst du jetzt schon direkt argumentieren, wieso die Funktion nicht mehr injektiv sein kann, weitere Umformungen sind nicht nötig.

Aber nochmal: die Angabe eines simplen Gegenbeispiels ist einfacher, versuch dich ansonsten mal an $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto x^2-5x+1 \end{eqnarray*}$ , ich mag mir gerade gar nicht mal die Arbeit machen den Nachweis über die Definition der Injektivität anzufangen.

14.02.2011, 20:54

VinSander82

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damit ist gezeigt, das es zwei möglichkeiten gäbe für $\begin{eqnarray*} |y|= \pm x \end{eqnarray*}$

damit bin ich vollkommst zufreiden, eigentlich hatte ich das auch im sinne und war auch logisch für mich alles klar , danke

das mit dein Beispiel: bekomme ich für das einsetzten von 2 oder 3 für x, beidses -5 raus, damit wurde ein Gegenbeispiel gezeigt

jut

14.02.2011, 20:56

Iorek

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Die von mir genannte Funktion war eigentlich nur als abschreckendes Beispiel für die Verwendung der Definition zur Widerlegung von Injektivität gedacht, das wird nämlich Rechenarbeit.

Bleibt die Surjektivität übrig.

14.02.2011, 20:58

VinSander82

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ahso okay , na gut bin dabei wegen der surjektivität

wie gehe ich da an?

14.02.2011, 20:59

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Und für die Surjektivität sollst du nichts für x einsetzen, das bringt dich nicht weiter. Du sollst ein y finden, dass kein Urbild unter der Funktion f besitzt.

Edit: Mal ganz ehrlich, du studierst seit 6 Jahren Mathe? verwirrt

verwirrt

14.02.2011, 21:07

VinSander82

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wie man's halt nimmt... ich habe versucht immer ein großen bogen um mathe zu machen...sorry wenn ich nicht mal so ne Standard dinger auf den Kasten habe...

einfach nicht meine stärke

14.02.2011, 21:10

Iorek

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Es geht mir mehr darum, dass diese Aufgaben in den ersten 4 Wochen im ersten Semester dran kommen, wenn du damit so arge Probleme hast, solltest du dir vielleicht nochmal diese Veranstaltungen ansehen. Dir scheinen sehr sehr viele Grundlagen zu fehlen.

Kannst du denn einen Ansatz zur Surjektivität machen?

14.02.2011, 21:13

Airblader

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@ VinSander82

Darf ich fragen, was genau du studierst? Mathematik auf Lehramt?

14.02.2011, 21:13

VinSander82

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mussich hier nicht die umkerhfunktion, so dass ich zeigen kann dass von der bildmenge alle zahlen aus der menge der wetremenge getroffen werden

das war wirlkich ziemlich am anfang , aber seitdem anscheinend viel grass drüber gewachsen, wenn ich es damals verstanden hätte.

14.02.2011, 21:14

VinSander82

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Zitat:

Original von Airblader
@ VinSander82

Darf ich fragen, was genau du studierst? Mathematik auf Lehramt?

jo genau, für Grund und Mittelstufe

14.02.2011, 21:15

Iorek

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Da die Funktion nicht bijektiv ist, existiert keine Umkehrfunktion (auf ganz IR). Du musst hier schon über das Urbild, also die Definition der Surjektivität gehen.

14.02.2011, 21:17

Airblader

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Nimms mir bitte nicht krumm, aber wenn sich jemand hinstellt und sagt, Mathematik ist nicht seine Stärke, dann bekomme ich das Kotzen, wenn diese Person später mal eben dieses Fach unterrichten will. Ich finde es eine Unverschämtheit sich selber derart auf Menschen loszulassen. Wenn man Mathe nicht mag oder es einem nicht liegt - okay. Aber wir reden hier davon, dass du mal lehren sollst. Wie soll denn bitte ein guter Lehrer aus jemandem werden, der das Fach weder versteht noch mag?

Das ist jetzt nichts Persönliches, aber solchen Personen gehört es gar nicht erst erlaubt, jemals irgendjemanden zu unterrichten. Schon gar keine Kinder. Wie sollen die jemals ein Interesse für Mathematik entwickeln?

Für mich ist das eine Verantwortungslosigkeit sondersgleichen. Umso trauriger, dass man in letzter Zeit vermehrt solche Personen antrifft. Sei es im Board oder auch im Studium. Was da zum Teil rumläuft finde ich eine absolute Frechheit.

air

14.02.2011, 21:21

VinSander82

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abe rdurch äquvalenzumformumg läst sich doch ermitteln, dass x = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25 - y} \end{eqnarray*}$

und womit sich für jedes y ein Urbild x berechnen lässt

14.02.2011, 21:23

Iorek

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Also hast du für y=26 ein Urbild?

14.02.2011, 21:26

VinSander82

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Zitat:

Original von Airblader
Nimms mir bitte nicht krumm, aber wenn sich jemand hinstellt und sagt, Mathematik ist nicht seine Stärke, dann bekomme ich das Kotzen, wenn diese Person später mal eben dieses Fach unterrichten will. Ich finde es eine Unverschämtheit sich selber derart auf Menschen loszulassen. Wenn man Mathe nicht mag oder es einem nicht liegt - okay. Aber wir reden hier davon, dass du mal lehren sollst. Wie soll denn bitte ein guter Lehrer aus jemandem werden, der das Fach weder versteht noch mag?

Das ist jetzt nichts Persönliches, aber solchen Personen gehört es gar nicht erst erlaubt, jemals irgendjemanden zu unterrichten. Schon gar keine Kinder. Wie sollen die jemals ein Interesse für Mathematik entwickeln?

Für mich ist das eine Verantwortungslosigkeit sondersgleichen. Umso trauriger, dass man in letzter Zeit vermehrt solche Personen antrifft. Sei es im Board oder auch im Studium. Was da zum Teil rumläuft finde ich eine absolute Frechheit.

air

DU hast nicht das quäntchen an Ahnug wie und was ich für ein Mensch bin und das DU mich hier jetzt und gerade bloß stellst, obwolhl wir uns nicht kennen und du null Ahnung hast.. nur weil du jetzt das kotzen bekommen würdest heisst das noch GARNICHTS--Mathe in diesem Studium leigt mir nicht, das heisst aber noch gar nicht, dass man den kinder scheisse vermittelt...so kommt das nämlich von dir rüber ...also immer schön Sachte. Das ist nämliuch eine Frechheit von DIR sowas unüberlegtes zu behaupten. Mathe mag ich sehr wojhl, sonst hätt ich's mir nicht ausgesucht. In der schule war ich der Beste, nun im Studium sieht's leider anders aus und ja der Spaß ist mir DORT leider vergangen...

Traurig von dir mich so darzustellen, total unfair

14.02.2011, 21:28

VinSander82

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Zitat:

Original von Iorek
Also hast du für y=26 ein Urbild?

Sorry musste hier nur Stellung nehmen..

Also es gibt kein Urbild für y= 26 oder höher

damit nicht surjektiv, zack bum bäng

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