schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?

13.02.2011, 00:11

andyrue

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schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?

hallo ihr da draußen irgendwo,

ich habe eine frage an euch, die mich beschäftigt, es geht darum um die definition des wortes 'schneiden' und 'tangieren' bzw. berühren.

gegeben seinen zwei funktionen f(x) und u(x)

beide funktionen haben den gemeinsamen punkt (5/9)

beide funktionen haben in diesem punkt die gleiche steigung m=3

nun liegt es nahe dass die beiden funktionen sich im dem punkt tangieren, so sagt es unser mathebuch.

aber: für x<5 ist f(x) > u(x) und für x>5 ist f(x) < u(x)

somit haben sie zwar den gemeinsamen punkt und in diesem punkt die gleiche steigung, aber - so mein verständnis - sie schneiden sich in diesem punkt?

ist das so?, wenn nein, warum nicht?

danke für evt. antworten, andy

13.02.2011, 00:44

lgrizu

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RE: schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?
Hast denn zwei Funktionen vorgegeben oder was ist die Aufgabe?

Schau dir einmal das Beispiel f(x)=x³ und f(x)=-x³ an der Stelle x=0 an.

14.02.2011, 00:32

andyrue

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RE: schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?

Zitat:

Original von lgrizu
Hast denn zwei Funktionen vorgegeben oder was ist die Aufgabe?

Schau dir einmal das Beispiel f(x)=x³ und f(x)=-x³ an der Stelle x=0 an.

genau. schneiden sie sich an der stelle x=0 oder tangieren sie sich?

andy

14.02.2011, 09:52

lgrizu

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RE: schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?
Sie schneiden sich, haben aber an der Stelle die gleiche Steigung, nämlich 0.

14.02.2011, 12:49

chili_12

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Bist du sicher?

Ich würde sagen die Funktionen berühren und schneiden sich.

Ist Berühren nicht gerade so definiert, dass zwei Funktionen in f(x0) und f'(x0) übereinstimmen?

mfg

14.02.2011, 13:04

lgrizu

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Berührt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^3 \end{eqnarray*}$ die x-Achse in x=0 oder schneidet sie sie?

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14.02.2011, 23:02

andyrue

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genau die antwort auf diese frage ist gegenstand meines interesses.

andy

14.02.2011, 23:17

Nelstar

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RE: schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?
Ist ein Berührpunkt nicht einfach ein Sonderfall des Schnittpunktes? Das heißt: jeder gemeinsame Punkt ist ein Schnittpunkt, aber manche sind auch Berührpunkte.

14.02.2011, 23:44

lgrizu

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RE: schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?
Ich denke, dass es eben darum geht, ob der "Sonderfall" Berührungspunkt vorliegt.

14.02.2011, 23:46

Dopap

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RE: schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?
das kommt auf die Definition von "berühren" an. In der Schule gilt allgemein:

f(x0)=g(x0) und f'(x0)=g'(x0) => x0 ist Berührstelle.

14.02.2011, 23:58

lgrizu

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RE: schneiden sie sich nun, oder tangieren sie sich?
In der Schule gilt auch allgemein f'(x)=0 und f''(x)=0 --> Sattelpunkt, wie aber die Funktion f(x)=x^6 zeigt, sind teilweise auch höhere Ableitungen zu betrachten.

Im allgemeinen gilt:

g(x)=f(x)-h(x)

Die Schnittpunkte sind die Punkte, an denen gilt g(x)=0.

Berührungspunkte sind nun die Schnittpunkte, an denen g(x) die x-Achse berührt, also g(x)=0, g'(x)=0 und $\begin{eqnarray*} g''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Hier ist noch anzufügen, dass, da ich das obige Beispiel gebracht habe, man so lange differenzieren muss, bis man eine Ableitung gefunden hat, die an der Nullstelle der ersten Ableitung nicht mehr verschwindet oder konstant ist.
Ist diese gerade, so liegt ein Extremum vor, ist diese ungerade, ein Sattelpunkt.

Hat g(x) an der entsprechenden Nullstelle also einen Sattelpunkt, so ist das kein Berührungspunkt, obwohl an der Stelle die 1. Ableitung verschwindet.

15.02.2011, 00:23

Dopap

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sind alle damit einverstanden, dass sich x^2 und x^3 in O berühren aber auch
x^2 und x^4 ?

15.02.2011, 00:27

lgrizu

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Das steht außer Frage, da sowohl die Funktion f(x)=x^3-x^2 in x=0 ein Extremum hat als auch die Funktion f(x)=x^4-x^2.

15.02.2011, 00:27

Nelstar

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Wollen wir ne Umfrage einbauen? Big Laugh

Big Laugh

15.02.2011, 00:31

lgrizu

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Mathematik ist keine Demokratie, nicht wer am lautesten schreit ist im Recht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein Sattelpunkt ist einfach kein Berührungspunkt.

15.02.2011, 01:06

Dopap

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wie gesagt, es kommt nur auf die Definition an.
Meine Nachhilfeschüler wollen klare, unmissverständliche Aussagen.
Wir sind im Schulbereich.

Und ich sage Ihnen : f(x0)=g(x0) => x0 ist Schnittstelle
und
zusätzlich f'(xo)=g'(xo) => xo ist Berührstelle.
Und aus die Maus.

15.02.2011, 01:21

Nelstar

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Zitat:

Original von Dopap
Meine Nachhilfeschüler wollen klare, unmissverständliche Aussagen.

Nun, sie müssen nicht nur klar und unmissverständlich, sondern auch richtig sein.

Und mir scheint da keine definitve Definition vorzuliegen.

15.02.2011, 07:27

Mystic

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Zitat:

Original von Nelstar

Zitat:

Original von Dopap
Meine Nachhilfeschüler wollen klare, unmissverständliche Aussagen.

Nun, sie müssen nicht nur klar und unmissverständlich, sondern auch richtig sein.

Dopap's Definition ist auch "richtig", sofern eine Definition überhaupt richtig sein kann... Definitionen sind im Prinzip immer nur mehr oder weniger "sinnvoll"...

15.02.2011, 07:54

lgrizu

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Ein Punkt ist kein Berührungspunkt, wenn sich das Vorzeichen des Funktionswertes beim Übergang an der Nullstelle ändert.
Wenn beim Übergang an der Nullstelle kein VZW stattfindet, so handelt es sich um einen Berührungspunkt.

15.02.2011, 07:59

Mystic

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@Igrizu

Ist sicher auch eine "sinnvolle" Definition im Sinne des oben Gesagten, auf Wikipedia definieren sie die Berührung aber nicht so einschränkend...

15.02.2011, 08:35

lgrizu

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Die Definition von Wiki würde aber vorraussetzen, dass die Funktion im Schnittpunkt differenzierbar sein muss, wenn man allerdings Funktionen hat, die in ihrem Schnittpunkt nicht differenzierbar sind, bekommt man Probleme, zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ , die, wenn man das Kriterium des VZW betrachtet einen Berührungspunkt hat, an der Schnittstelle x=0 aber nicht differenzierbar ist.

15.02.2011, 09:32

Mystic

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Ich weiss jetzt nicht, was die zweite Kurve ist (Kandidaten wären die x-Achse oder die y-Achse), welche dein f(x) hier für x=0 "berührt", ich würde mich aber hier ohnehin der Wiki-Definition anschließen, dass in Punkten, wo f(x) nicht differenziebar ist, eine "Berührung" überhaupt nicht Sinn macht...

Übrigens: Was ist eigentlich der Grund, dass du hier $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ , statt einfach nur $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ betrachtest?

15.02.2011, 09:43

lgrizu

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Zitat:

Original von Mystic

Übrigens: Was ist eigentlich der Grund, dass du hier $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ , statt einfach nur $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ betrachtest?

Das hat keinen besonderen Grund.

Edit: Ich habe gerade mal das I-net durchstöbert. Es hängt, wie Mystic bereits angemerkt hatte, von der Definition eines Berührungspunktes ab, wurde in der Schule ein Berührungspunkt so definiert, dass an der Nullstelle ein VZW stattfindet, so ist es kein Berührungspunkt, wird ein Berührungspunkt so definiert, dass gilt f(x_0)=0 und f'(x_0)=0, so ist diese Definition zu verwenden, ich bin, auch was Abituraufgaben betrifft auf beide Varianten gestoßen.

Für die Frage bedeutet es, dass du einfach die Definition verwenden musst, die an deiner Schule gelehrt wird, für Dopap bedeutet es, dass er seinen Nachhilfeschülern das beibringen sollte, das auch in der Schule gelehrt wird, also die Definition verwenden sollte, die die Schüler auch in der Schule verwenden.

Ich muss jedoch auch sagen, dass bei meiner Suche (gefühlt) signifikant häufiger die Definition f(x_0)=0 und f'(x_0)=0 ---> Berührungspunkt verwendet wurde, als die über den VZW.

Letzlich hängt es wirklich ausschließlich davon ab, welche Definition in der Schule verwendung findet.

16.02.2011, 00:59

andyrue

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zunächst mal danke an @lle da draußen,

ich werde mich vorerst wohl an die denfinition halten, wie sie in der schulmathematik gelehrt wird, auch wenn ich die darin beschriebene definition für einen berührpunkt zweier funktionen in eben den erwähnten fällen eigentlich vom mathematischen bauchgefühl als schnittpunkt ansehe.

es ist ähnlich wie mit der funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

die ja zunächst eigenlich keine funktion ist, da für positive $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eigentlich jedem x zwei werte zugeordnet werden, was die funktion negiert (zumal's ja die umkehrfunktion der normalparabel ist).

also eben der positive ast per definition. hilft dem mathematischen verständnis, wenn's unkommentiert im mathebuch steht, auch nicht unbedingt weiter weil ich so das gefühl von flickwerk hab.

aber egal, nochmals danke, andy

16.02.2011, 08:33

Mystic

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Zitat:

Original von andyrue
ich werde mich vorerst wohl an die denfinition halten, wie sie in der schulmathematik gelehrt wird, auch wenn ich die darin beschriebene definition für einen berührpunkt zweier funktionen in eben den erwähnten fällen eigentlich vom mathematischen bauchgefühl als schnittpunkt ansehe.

Hm, wenn zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen Berührpunkt haben, dann haben sie dort auch einen Schnittpunkt, d.h., es muss gelten $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ , oder müssen wir über diesen Punkt nun auch noch diskutieren? verwirrt

verwirrt

Was du offenbar meinst (aber nicht sagst!), ist, dass du für einen Berührpunkt den Fall ausschließen möchtest, dass $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ einen Vorzeichenwechsel hat... Wie gesagt, das wäre auch eine durchaus "sinnvolle" Definition, entscheidend ist aber, wie es in eurem Schulbuch steht, wie schon Igrizu oben gesagt hat und dem ich mich auch voll anschließe, obwohl für mich ein Berührpunkt diese zusätzliche Bedingung nicht erfüllen muss...

Zitat:

Original von andyrue
es ist ähnlich wie mit der funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

die ja zunächst eigenlich keine funktion ist, da für positive $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eigentlich jedem x zwei werte zugeordnet werden, was die funktion negiert (zumal's ja die umkehrfunktion der normalparabel ist).
also eben der positive ast per definition. hilft dem mathematischen verständnis, wenn's unkommentiert im mathebuch steht, auch nicht unbedingt weiter weil ich so das gefühl von flickwerk hab.

Au weia, du bist hier bei meinem Lieblingsthema gelandet, aber ich werde mich kurz halten... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, die Wurzelfunktion (mit Betonung auf Funktion, da eine Funktion immer eindeutig ist!), ist nur die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ und kann daher auch nur nichtnegative Werte annehmen... Man sollte sich also nicht immer nur auf sein "Bauchgefühl" verlassen bzw. dieses durch gute Beispiele bzw. gute Argumente auch "trainieren"...

21.02.2011, 00:05

Dopap

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etwas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ ist allenfalls eine Funktionsvorschrift und wird erst
zusammen mit einer Definitionsmenge zur Funktion.
Deshalb kann man auch die Bestimmung einer Definitionsmenge nicht als Aufgabe stellen,
sondern allenfalls die maximal Definitionsmenge oder bei Sachaufgaben eine sinnvolle Definitionsmenge fordern.
Eine Funktion ist eine spezielle Teilmenge einer Relation.
so ist z.B. $\begin{eqnarray*} f=\left\{ (2;7),(5,653;-12,3)\right\} \end{eqnarray*}$ eine Funktion.

@mystik : hab' ich DEIN Thema damit zufällig angesprochen?

21.02.2011, 08:32

Mystic

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Zitat:

Original von Dopap
@mystik : hab' ich DEIN Thema damit zufällig angesprochen?

Nicht wirklich, zumal ja auch deine Aussagen dazu höchst widersprüchlich sind... Einerseits sagst du

Zitat:

Original von Dopap
etwas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ ist allenfalls eine Funktionsvorschrift und wird erst
zusammen mit einer Definitionsmenge zur Funktion.

anderseits ist dein Beispiel einer Funktion, nämlich

Zitat:

Original von Dopap
so ist z.B. $\begin{eqnarray*} f=\left\{ (2;7),(5,653;-12,3)\right\} \end{eqnarray*}$ eine Funktion.

ja auch nur eine Abbildungsvorschrift (mal abgesehen von der seltsamen Syntax), ohne dass daraus der Definitionsbereich explizit hervorgeht... Dass man für eine vollständige Angabe einer Funktion auch noch die Zielmenge braucht, sei jetzt nur am Rande erwähnt...

Ja, es stimmt, die Frage "Was ist eine Funktion?" wäre für sich genommen ein hochinteressantes Thema, aber im Rahmen dieses Threads hier doch ziemlich off topic...

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