Christoffel-Symbole

13.02.2011, 01:35	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Christoffel-Symbole Guten Abend miteinander! Ich bin auf der Suche nach einem Vorgehen, um Christoffelsymbole zu berechnen. Leider ist der Wikipedia-Eintrag etwas unverständlich und auch in der VL haben wir es nicht wirklich verständlich gemacht. Also ich weiss, dass man von einer gegebenen Funktion die jeweiligen Ableitungen - sagen wir nach x und nach y - machen muss. Diese beiden Vektoren sind dann Tangentialvektoren. Mit diesen lässt sich dann die erste Fundamentalform bestimmen. Wie geht es nun aber weiter? ..man muss doch noch die zweiten Ableitungen betrachten - aber wie? Vielen Dank für die Hilfe!
13.02.2011, 03:24	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft dir bereits ein Blick in dieses Dokument. Dort geht es zwar um Gauß- und Codazzi-Gleichungen, aber die Christoffelsymbole werden dafür auch berechnet.
13.02.2011, 10:43	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen herzlichen Dank für den Post! Auch bei Wikipedia habe ich gesehen, dass dort mit E, F, etc. gearbeitet wird. Wir haben das in der VL ganz kurz auch so gemacht, allerdings nur um zu zeigen, dass es auch "anders" geht. Die Gauss-Krümmung (ist das nicht dasselbe wie die Gauss-Abbildung? :S ) haben wir definiert als der Quotient der Determinante der zweiten Fundamentalform durch die Det. der ersten FF. Und deshalb wollte ich fragen, ob es nicht auch wie folgt geht: (Bzw. wie es eben genau geht..ich habe hierzu nicht die volle Punktzahl erhalten, weil $\begin{eqnarray} T_{ij}^1 \end{eqnarray}$ fehlte) Beispiel: f(x,y) = (y cos(x), y sin(x), x) f_x = (-y sin(x), y cos(x), 1) f_y = (cos(x), sin(x), 0) --> $\begin{eqnarray} I_p = (g_{ij}) = \begin{pmatrix} 1+y^2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich geschrieben, dass gilt: $\begin{eqnarray} T_{11g_{22}}^2 = f_{xx} \cdot f_y \end{eqnarray}$ , weil die erste FF diagonal sei. Aber was bedeutet $\begin{eqnarray} T_{11g_{22}}^2 \end{eqnarray}$ genau? Dann habe ich Formeln hingeschrieben à la: $\begin{eqnarray} T_{11}^2 = \frac{f_{xx} \cdot f_y}{f_y \cdot f_y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_{12}^2 = T_{21}^2= \frac{f_{xy} \cdot f_y}{f_y \cdot f_y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_{22}^2 = \frac{f_{yy} \cdot f_y}{f_y \cdot f_y} \end{eqnarray}$ Zum einen: Stimmt das überhaupt? (und: Gilt das immer?) Und zum anderen: Was ist $\begin{eqnarray} T_{ij}^1 \end{eqnarray}$ ? Liebe Grüsse und vielen, vielen Dank fürs Durchlesen!

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