primitive Restklasse modulo 16

13.02.2011, 08:09

Jeba

primitive Restklasse modulo 16

Hallo Leute,

kann mir jemand helfen?

Ich muss $\begin{eqnarray*} G=(\mathbb{Z}/16 \mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ in ein Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzen zerlegen.

Die Gruppe hat 8 Elemente, wovon keines Erzeugende ist. Das folgt auch daraus, dass $\begin{eqnarray*} 16=2^4 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 2,4, p^k, 2p^k \end{eqnarray*}$ ist.

Die Ordnungen sind 4,4,2,4,4,4,2, wovon im Durschnitt von <3> und <5> die Elemente {1,9} liegen.

Da ja die Gruppe nicht zyklisch, ist sie auch nicht kommutativ, oder?
Und somit isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ .
Aber wie sehe ich das, wenn ich mir nur die Elemente ansehe?

Stimmen meine Überlegungen überhaupt?

Liebe Grüsse
Jeba

13.02.2011, 08:30

Mystic

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RE: primitive Restklasse modulo 16

Zitat:

Original von Jeba
Die Gruppe hat 8 Elemente, wovon keines Erzeugende ist. Das folgt auch daraus, dass $\begin{eqnarray*} 16=2^4 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 2,4, p^k, 2p^k \end{eqnarray*}$ ist.

Hm, 16 ist aber, wie du auch selber schreibst, von der Form $\begin{eqnarray*} p^k \end{eqnarray*}$ oder meinst du mit p eine ungerade Primzahl? (Wenn ja, dann bitte auch hinschreiben!!!)

Zitat:

Original von Jeba
Die Ordnungen sind 4,4,2,4,4,4,2, wovon im Durschnitt von <3> und <5> die Elemente {1,9} liegen.

Irgendwo fehlt da eine Ordnung, denn es sollten doch 8 sein gemäß deiner 8 Elemente, oder nicht? verwirrt

Zitat:

Original von Jeba
Da ja die Gruppe nicht zyklisch, ist sie auch nicht kommutativ, oder?

Boah, diesen Satz muss man zweimal lesen, um glauben zu können, dass er wirklich so dasteht... Ne, sorry, das ist echt ein kapitaler Fehlschluss... unglücklich

Zitat:

Original von Jeba
Und somit isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ .

Aha, und diese Gruppe ist deiner Meinung nach nichtkommutativ und es gibt in ihr auch Elemente der Ordnung 4? verwirrt

Zitat:

Original von Jeba
Stimmen meine Überlegungen überhaupt?

Ich denke, die Antwort auf diese letzte Frage ist inzwischen klar...

Hier noch ein Tipp: Welche nichtzyklische, kommutative(!) Gruppe mit 8 Elementen gibt es denn noch?

13.02.2011, 09:14

Jeba

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vielen dank für die rasche antwort am sonntag morgen, super!

ja, ich meinte p ungerade.

und da gibt es ja noch die eins mit der Ordnung 1, sorry, hab ich total vergessen!

hmm, das mit kommutativ und zyklisch verwirrt mich immer...

in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times\mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ ist ja die kleinsche vierergruppe enthalten, diese hat 4 Elemente und diese gruppe ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times\mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ ) ist nicht zyklisch, aber kommutativ.

Also es gibt noch die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ der Ordnung acht, aber die ist nicht kommutativ, ist die zyklisch? ja... in diesem fall, kann sie nicht isomorph zu G sein.

dann gibt es noch die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_8 \end{eqnarray*}$ , die zyklisch und kommutativ ist, oder? sollte auch nicht isomorph zu G sein, falls meine überlegungen nun stimmen.

Ich bin mir da aber immer noch nicht sicher. Kannst du mir nochmal helfen?

13.02.2011, 09:25

Mystic

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Versuch aus den "zyklischen Bausteinen" einer endlichen kommutativen Gruppe, das sind die zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Gruppenordnung teilen, eine kommutative Gruppe mit 8 Elementen "zusammenzubasteln" und kontrollier dann, ob die Ordnungen ihrer Elemente mit den Ordnungen, welche du schon berechnet hast, übereinstimmt...

13.02.2011, 09:46

Jeba

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das war ja eigentlich meine frage am anfang!
Wie sehe ich das an den Elementen der Untergruppe zu welcher Gruppe G isomorph ist?

Die Antwort ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_8\, isomorph \, zu\, \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ , aber ich sehe nicht wieso!

Satz:
Jede endliche abelsche Gruppe nicht {e} ist direktes Produkt zyklischer Untergruppen von Primzahlpotenzordnung nicht 1.

<3>={3,9,11,1}=<9>=<11>
<5>={5,9,13,1}=<13>
<7>={7,1}
<15>={15,1}
<1>={1}

Um G zu erhalten, muss ich die Direkte Summe von <3>,<5>,<7>,<15> bilden, aber so erhalte ich keine Gruppe der Ordnung 8.

Was mache ich falsch??
nochmals danke für deine hilfe

13.02.2011, 10:00

Mystic

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Zitat:

Original von Jeba
Die Antwort ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_8\, isomorph \, zu\, \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ , aber ich sehe nicht wieso!

Da die Gruppe kommutativ ist (wie du hoffentlich inzwischen selbst eingesehen hast!) und außerdem 8 Elemente hat, gibt es für ihre Struktur (bis auf Isomorphie) nur 3 Möglichkeiten

1. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_8 \end{eqnarray*}$

Da die Möglichkeiten 1. und 3. ausscheiden (nochmals: warum?), bleibt nur 2., so einfach ist das!... Irgendwie denkst du da zu kompliziert bzw. in eine falsche Richtung... geschockt

13.02.2011, 10:16

Jeba

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danke

die antwort wusste ich schon zu beginn, nur konnte ich das nicht so hinnehmen, da ja die kleinsche vierergruppe auch 4 elemente hat und ich diese nicht ausschliessen kann (immer noch nicht!).

die 2. und die 3. möglichkeit ist ja isomorph, deshalb ein weiterer grund, warum ich die antwort nicht akzeptieren konnte.

also kann ich einfach so sagen, dass die 2. möglichkeit stimmt, ohne weitere begründung, wenn es untergruppen der Ordnung 2 und 4 gibt?

für die 1. möglichkeit wären dann nur Untergruppen der Ordnung 2 in G?

13.02.2011, 10:37

Mystic

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Zitat:

Original von Jeba
die antwort wusste ich schon zu beginn, nur konnte ich das nicht so hinnehmen, da ja die kleinsche vierergruppe auch 4 elemente hat und ich diese nicht ausschliessen kann (immer noch nicht!).

Oh Gott, da sind so Riesenlücken in ganz elementaren Dingen, dass man gar nicht weiß, wo man anfangen soll... Jedenfalls nicht bei den Sylowgruppen, wie in deinen anderen Threads hier, denn das liegt ja gleich einige Levels darüber...

Aber zum Thema: Die Kleinsche Vierergruppe haben wir nicht ausgeschlossen, denn diese ist ja isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ , was dir offenbar nicht bewußt ist... Daher ist dieser Fall sehr wohl inkludiert, und zwar in Fall 1. oben (und auch in Fall 2., wenn auch hier nur als Untergruppe, und nicht als direkter Summand!)...

Zitat:

Original von Jeba
die 2. und die 3. möglichkeit ist ja isomorph, deshalb ein weiterer grund, warum ich die antwort nicht akzeptieren konnte.

Sind sie nicht, denn die dritte Gruppe ist zyklisch, die zweite nicht... geschockt

Zitat:

Original von Jeba
also kann ich einfach so sagen, dass die 2. möglichkeit stimmt, ohne weitere begründung, wenn es untergruppen der Ordnung 2 und 4 gibt?

Die 2.Möglichkeit stimmt, da die beiden anderen ausscheiden und es nicht mehr an Möglichkeiten gibt...

Zitat:

Original von Jeba
für die 1. möglichkeit wären dann nur Untergruppen der Ordnung 2 in G?

Richtig, oder besser nur Elemente der Ordnung höchstens 2... Schau deine Liste der Ordnungen, welche du oben schon aufgestellt hast, noch einmal an... Ist diese Eigenschaft damit kompatibel?

13.02.2011, 10:56

Jeba

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ja, mit den riesenlücken hast du recht, versuche die ja zu stopfen.
danke, dass du dir die zeit genommen hast mir dabei zu helfen. mir ist das jetzt klar

Lg
jeba

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