Diedergruppe

13.02.2011, 09:26

Jeba

Diedergruppe

Hallo,

noch eine dringende Frage:

Bestimmen Sie alle Sylowgruppen in $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ und berechnen Sie den Durchschnitt je zweier Sylowgruppen.

Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} s_2 \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_3=\{id, \sigma^2, \sigma^4\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \sigma=e^{2\pi i/6} \end{eqnarray*}$ ist Normalteiler.

Also gibt es eine Gruppe der Ordnung 3 und drei der Ordnung 4.

Da die Gruppe der Ordnung 3 isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist x^2=e

aber hier komme ich nicht weiter.
Wie bestimme ich diese Gruppe der Ordnung 3?

Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte!
Danke
LG
Jeba

Edit: LaTeX korrigiert. "Isomorph zu" = \cong. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.

13.02.2011, 10:47

Jeba

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ich denke dieser thread sollte in den Algebrabereich.
wie kann ich ihn dorthin verschieben?

Edit: Einen Moderator anschreiben? Verschoben. Gruß, Reksilat.

13.02.2011, 13:23

Reksilat

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Hi Jeba,

Zitat:

Da die Gruppe der Ordnung 3 isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist x^2=e

Die Kleinsche Vierergruppe hat 4 Elemente!
Was sollen x und e sein?
Das ist unverständlich.

Du solltest zuerst überlegen, wie Du die Elemente der ganzen Diedergruppe darstellst, bevor Du auf einzelne Untergruppen eingehst.
Ich empfehle Dir, die $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ als Symmetriegruppe des regelmäßigen Sechsecks darzustellen. Dann sind die Elemente Permutationen der Eckenmenge $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

13.02.2011, 15:06

Jeba

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ja, da hab ich mich verschrieben. Ordnung 4 für die Kleinsche Vierergruppe.

also ich nummeriere den Einheitskreis so:
$\begin{eqnarray*} \sigma=\tau\sigma^4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma^2=\tau\sigma^5=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma^3=\tau=3 \end{eqnarray*}$ usw. (das ist nur die Nummerierung des Einheitskreises und heisst nicht, dass sie gleich sind)

wobei $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ die Spiegelung und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Drehung um $\begin{eqnarray*} \frac{2 \pi i}{6} \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} G=D_6=\{id, \sigma, \sigma^2, ... ,\sigma^5,\tau,\tau\sigma, ...,\tau\sigma^5\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma^6=id \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tau^2=id \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau \sigma \tau=\sigma^{-1} \end{eqnarray*}$

Die einzige 3-Sylow ist Normalteiler und sieht so aus $\begin{eqnarray*} \{id, \sigma^2, \sigma^4\} \end{eqnarray*}$

Mein Problem liegt bei der Bestimmung der 2-Sylow, die isomorph zur Kleinschen Vierergruppe (Ordnung 4!) ist. Sie sollten so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \{id, (12)(45), ...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{id, (23)(56), ...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{id, (34)(61),...\} \end{eqnarray*}$

Die weiteren Elemente darin haben ebenfalls Ordnung 2.

Mir ist jetzt nicht klar, wie der Isomorphismus zwischen S_6 zu diesen Untergruppen ist.

Kannst du mir einen tipp geben?

13.02.2011, 16:02

Reksilat

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Zitat:

Original von Jeba
also ich nummeriere den Einheitskreis so:
$\begin{eqnarray*} \sigma=\tau\sigma^4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma^2=\tau\sigma^5=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma^3=\tau=3 \end{eqnarray*}$ usw. (das ist nur die Nummerierung des Einheitskreises und heisst nicht, dass sie gleich sind)

Das ergibt für mich keinen Sinn.
Du bringst Das Sechseck (Einheitskreis?) mit den Symmetrien durcheinander. Wieso haben Deine Symmetrien plötzlich Nummern?

Wenn Du die Ecken im Uhrzeigersinn mit 1,2,3,4,5,6 bezeichnest, dann ist die Drehung um $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{6} \end{eqnarray*}$ eben die Permutation $\begin{eqnarray*} (123456) \end{eqnarray*}$ .
Eine Spiegelung an der Achse durch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} (26)(35) \end{eqnarray*}$ usw.

Zitat:

Mir ist jetzt nicht klar, wie der Isomorphismus zwischen S_6 zu diesen Untergruppen ist.

Wieso willst Du so einen Isomorphismus angeben? Das wird nicht gehen.

13.02.2011, 16:21

Jeba

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okay, deine Antwort hilft mir aber keinen Schritt weiter.

mir fällt es leichter, wenn ich einen kreis zeichne und ihn wie beschrieben nummeriere.

Ist jetzt alles blödsinn, was ich geschrieben habe? Mit der Gruppe D_4 habe ich das so gemacht und die Lösung schnell gefunden.

So habe ich in S_4 eine Untergruppe {id, (12)(34), (13)(24), (14)(32)} der Ordnung 4 isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

In S_6 gibt es drei solche Gruppen, die ich ja auch berechnen kann. Nur will ich eine Untergruppe von D_6.

Wie gehe ich dabei vor?

13.02.2011, 16:28

Reksilat

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Zitat:

Original von Jeba
mir fällt es leichter, wenn ich einen kreis zeichne und ihn wie beschrieben nummeriere.

Wie nummerierst Du bitte eine Kreis? verwirrt

Und Deine Untergruppe der D4 enthält doch auch Permutationen wie (12)(34).
Wo kommt die denn her? Wie steht diese Bezeichnung denn mit dem regelmäßigen Viereck in Zusammenhang?

Mein Hinweis war, die Ecken zu nummerieren und dann aufzuschreiben, was Deine ganzen Symmetrien auf diesen Ecken bewirken.
Wo ist da das Problem? Wieso kommst Du nicht weiter?

Du kannst auch einfach schauen, welche Deiner Symmetrien die Ordnung 2 haben (selbstinvers sind). Nur die kommen schließlich für eine Vierergruppe in Frage.

Gruß,
Reksilat.

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