AWP eines DGL-Systems mit const. Koeffizienten

13.02.2011, 11:23	Guest10	Auf diesen Beitrag antworten »
AWP eines DGL-Systems mit const. Koeffizienten Gegeben sei ein homogenes DGL-System mit konstanten Koeffizienten: $\begin{eqnarray} x' = Ax \end{eqnarray}$ zusammen mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} x(t_0) = x_0 \end{eqnarray}$ . Nun haben wir in der Vorlesung folgendes gelernt und auch im Skript steht nur folgendes. "Das oben genannte Anfangswertproblem hat folgende eindeutige Lösung: $\begin{eqnarray} x(t) = e^{A(t-t_0)}x_0 \end{eqnarray}$ ." Also: Man muss sich erst mit Matrixexponentialen rumschlagen, sprich Eigenvektoren zu Eigenwerten berechnen, die Eigenvektoren in einer Matrix $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ zusammenfassen, $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ diagonalisieren und invertieren und am Ende ist die Lösung des Matrixexponentials $\begin{eqnarray} S^{-1}e^DS \end{eqnarray}$ . Ein ellenlanges Prozedere. Jetzt habe ich aber eher durch Zufall im Netz eine andere Vorgehensweise entdeckt, die viel angenehmer erscheint. Demnach muss man lediglich die Eigenwerte und Eigenvektoren der konstanten Koeffizientenmatrix berechnen und dann lautet ein Ergebnis sofort: $\begin{eqnarray} x_k(t) = v_k e^{\lambda_k t} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda_k \end{eqnarray}$ der Eigenwert zum Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_k \end{eqnarray}$ ist. Man muss sich also gar nicht erst mit Matrixexponentialen rumschlagen. Frage: Wieso habe ich in unserem Mathekurs, der ja jetzt auch vorbei ist, von dieser (offensichtlich viel bequemeren Methode) noch nichts gehört bzw. wo ist der Nachteil?
14.02.2011, 15:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist vielleicht nicht der Knackpunkt, aber versuch mal den zweiten Ansatz bei der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 8 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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