Newton-Verfahren Strafraum

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jimmyjoejoe Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren Strafraum
Meine Frage:
Zur neuen Saison möchte der Platzwart das Spielfeld besonders schön herrichten.
Er markiert hierfür die in der Abbildung gezeigten Spielfeldelemente
neu: den Elfmeterpunkt (Kreuz), die Strafraumgrenze (waagrechte Linie) und
das Kreisbogenstück vor dem Strafraum. Die hierfür nötigen Maße nennt
ihm der DFB: Der Elfmeterpunkt ist 11 m von der Torlinie entfernt (dazu
hätten wir keinen DFB gebraucht), die Strafraumgrenze 16 m, und das Bogenstück
ist Teil eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Elfmeterpunkt und
dessen Radius 9,15 m ist.
a) Berechnen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens die Koordinaten des in
der Abbildung markierten Linienschnittpunktes auf drei Nachkommastellen
genau. Legen Sie dazu ein Koordinatensystem fest, dessen Nullpunkt
der Elfmeterpunkt und dessen Einheit 1m ist.
b) Berechnen Sie mithilfe der Trapezformel näherungsweise die Größe der
grau schraffierten Fläche; wählen Sie hierzu n = 8.

Meine Ideen:
Leider kann ich überhaupt keinen Ansatz finden! Für Teil a) müsste ich doch zwei Funktionsgleichungen aufstellen und gleichsetzen, oder?? Hilfe... Weiß nicht mehr weiter...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Teil a) musst du einfach nur ein Koordinatensystem wie gefordert aufstellen, mach das schonmal
jimmyjoejoe Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme die Funktionsgleichung des Halbkreises, wenn der Elfmeterpunkt im Ursprung liegt.
Dann bestimme die Gleichung der Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und durch den gesuchten Schnittpunkt geht, setze beide gleich und berechne die Nullstelle mit Newton.

Zum Vergleich kann man das ganze dann mit Pythagoras nachrechnen und überprüfen.
mz2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe die gleiche Aufgebenstellung, aber als Frage nur das was bei b) steht.

Mein Problem ist, dass ich nicht das Integral herausbekomme, das ich brauche, um mit der Trapezformel zu rechnen. Ich habe es mit squrt(r²-x²) probiert, kam aber kein sinnvolles ergebnis raus.

Ich habe mittlerweile schon mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreisabschnitts den Flächeninhalt der gesuchten Fläche berechnet, mit dem Ergebnis 44,78m².

Aber da ich ja als Lösungsweg über die Trapezformel gehen muss, weiß ich leider immer noch nicht, welches Integral ich dafür nehmen muss bzw. wo ich es herbekomme.

Wäre sehr dankbar für Ratschläge.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Also, der Halbkries ist tatsächlich durch die Funktion gegeben, wenn der Elfmeterpunkt der Ursprung sein soll, ansonsten entsprechend verschieben.

Die Gerade ist gegeben durch , die Differenz zwischen der Entfernung des Elfmeterpunktes vom Tor (11 m) und der Entfernung der Strafraumbegrenzung von der Torlinie (16m).

Zu integrieren ist also die Differenzfunktion zwischen den Schnittstellen.

Ich weiß auch nicht, was du gerechnet hast, aber ich bekomme nach Anwendung der Sehnen Trapz Regel mit n=8 einen ungefähren Flächeninhalt von 43,89 heraus, was ziemlich nah an dem tatsächlichen Ergebnis liegt.

Mit Pythagoras und Rundungen habe ich in etwa auch 44,796 heraus....
 
 
mz2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.

Was meinst du mit Differenzfunktion? Wenn die Gleichung der Gerade 5 ist, müsste die Funktion zur Lösung dann y = squrt(r²-x²) -5 lauten, oder?

Für die Kreissehne (hier Strafraumgrenze) habe ich 15,326 m Länge berechnet. Als Intervall wollte ich mit n = 4 starten, also mit einer Schrittweite von h = 3,8315.

Aber egal wie, ich komme nicht auf das richtige Ergebnis. Ist es richtig für r=9,15 einzusetzen? Wenn ich mit x dann über die 9,15 komme, meldet mein Taschenrechner einen Fehler, da er ja die Wurzel aus einer negativen Zahl berechnen müsste. Wenn ich eine Klammer um -x setze addiert er ja r und x?

Bitte nochmal um Hilfe.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin am Wochenende nicht da gewesen, deshalb die etwas späte Antwort....

Es ist an sich auch sinnvoll, nicht in uralte Threads zu posten sondern einen neuen zu eröffnen, ansonsten verschwindet das gerne mal. Des weiteren ist es sinnvoll, etwa eine Stunde online zu sein, wenn man eine Frage stellt, da in diesem Zeitraum auf jeden Fall (oder in einem sehr großen Teil der Fälle) bereits die erste Antwort zu erwarten ist.

Zitat:
Original von mz2304

Was meinst du mit Differenzfunktion? Wenn die Gleichung der Gerade 5 ist, müsste die Funktion zur Lösung dann y = squrt(r²-x²) -5 lauten, oder?


Genau, das ist di zu integrierende Funktion, noch mal in Latex:



Zitat:
Original von mz2304
Für die Kreissehne (hier Strafraumgrenze) habe ich 15,326 m Länge berechnet. Als Intervall wollte ich mit n = 4 starten, also mit einer Schrittweite von h = 3,8315.


Das kann man machen, aber über welchem Intervall integrierst du denn? Der Radius ist , jap.

Zitat:
Original von mz2304
Aber egal wie, ich komme nicht auf das richtige Ergebnis. Ist es richtig für r=9,15 einzusetzen? Wenn ich mit x dann über die 9,15 komme, meldet mein Taschenrechner einen Fehler, da er ja die Wurzel aus einer negativen Zahl berechnen müsste. Wenn ich eine Klammer um -x setze addiert er ja r und x?


Wie gesagt, betrachte das zu integrierende Intervall, da wir die Diskriminante nicht negativ....

Mach doch einmal Schritt für Schritt vor, was du rechnest....

Weclhe Funktion hast du?
Über welchem Intervall willst du integrieren?
Wie sieht die Anwendung der Trapzregel bei dir aus?

Diese Fragen bitte inklusive Rechenweg beantworten, dann kann man schauen, was du falsch gemacht hast.
mz2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die allgemeinen Tipps, bin ja noch neu hier.

So jetzt zur Aufgabe:

Also als Funktion habe ich auch schon mit gerechnet.
Mein Intervall geht von 0 bis 15,326, weil dass die Länge der Kreissehne ist.
Ich wollte mit einem Intervall von n=4 beginnen, was die Kreissehne in die Schrittweite von h=3,8315 einteilt. Ich setze die folgenden Xn für x in die Funktion ein.

Bekomme also die Tabelle:
n Xn Yn1 Yn2
0 0 4,15
1 3,8315 3,3092
2 7,663 0,00009
3 11,4945 error
4 15,326 error
Wenn ich eine Klammer um -x² setze bringt mein Rechner keinen Fehler, addiert ja aber dann r und x und bringt die Ergebnisse 9,69 und 12,84. (Hier wird wohl was falsch laufen). Laut Trapezregel muss ich dann h/2*(Yn1+2*Yn2) rechnen. Wenn ich die Tabelle mit 9,69 und 12,84 ergänze bekomme ich als Gesamtergebnis 82,38.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

So, das ist schon mal falsch, dein Intervall geht nicht von 0 bis 15,326, denn das sind nicht die Schnittstellen der Funktion mit der Funktion (oder die Nullstellen der Funktion )

Ich habe bereits geschrieben, dass zwischen den Schnittstellen zu integriren ist.
Es ist klar, dass du ein Error bekommst, an den Stellen ist die Funktion gar nicht definiert, jedenfalls nicht für die reellen Zahlen.

Wir haben hier den Ursprung doch in den Elfmeterpunkt gelegt.

Ich würde auch die Länge der Sehne nicht mit Pythagoras berechnen, das kann lediglich zur Überprüfung dienen.

Mach also folgendes:

Wir haben die zu integrierende Funktion , und wir integrieren diese zwischen ihren Nullstellen.

Also zuerst die Nullstellen berechnen, wie lauten diese?

mz2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Also als Nullstellen hab ich 7,663 bzw. -7,663. Ich glaub ich habs jetzt raus:

Wenn ich mein Intervall nun von 0 bis 7,663 wähle und bei n=4 bleibe erhalte ich eine Schrittweite von 1,91575. Wenn ich mit diesen Werten rechne erhalte ich nach Anwendung der Trapezregel 21,937. Wenn ich dies nun mit 2 multipliziere (im Moment habe ich ja den Flächeninhalt einer Hälfte des Kreisstücks) erhalte ich als Lösung für den gesamten Flächeninhalt 43,8746, was deiner Lösung mit n=8 ja sehr nahe kommt.

Ich hoffe ich habe das so richtig verstanden.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, genau.

Das Intervall ist .

Wenn du für das Intervall n=4 wählst, dann hast du auf das gesamte Intervall n=8.

Wie gesagt, ich habe in einigen Rechenschritten (mehr oder weniger stark) gerundet, deshalb der Unterschied, aber nun scheint es ja geklappt zu haben.

Noch Fragen?
mz2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, soweit alles klar.

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!!! Freude
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