Austauschsatz von Steinitz

13.02.2011, 12:08	Corny	Auf diesen Beitrag antworten »
Austauschsatz von Steinitz Meine Frage: Hey! Ich weiß, dass es dieses Thema schon oft gibt. Aber ich hab ein Problem beim Verständnis des Austauschsatzes von Steinitz. Austauschsatz von Steinitz: Sei $\begin{eqnarray} S\subseteq V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v,y \in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <S\bigcup \left\{ x\right\}>\setminus <S> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\in <S\bigcup \left\{ y\right\}> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also ich weiß was der Steinitsche Austauschsatz sagen soll: Hat man eine Basis B von V und eine Linear Unabhänigige Mengen A in V, dann kann man A nehmen und mit noch anderen Vektoren aus B zusammen eine neue Basis bilden. Stimmt das so? Aber wie man das aus dieser Notation( aus der Vorlesung) herausliest ist mir nicht wirlklich klar. Könnte mir da jemand bitte helfen das zu interpretieren, wäre sehr wichtig. Vielen Dank schonmal. Gruß Corny
13.02.2011, 14:34	C3P0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wähle eine Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Dann lässt sich $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ (eindeutig) als Linearkombination der Elemente aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ darstellen. Sei dann $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ , sodass der Faktor vor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in dieser Linearkombination nicht 0 ist. Wähle dann $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} S \cup \{x\}=B \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} y \in \langle S \cup \{x\} \rangle \setminus \langle S \rangle \end{eqnarray}$ . Dann kannst du aus deinem Satz oben folgern, dass dann auch $\begin{eqnarray} S \cup \{y\} \end{eqnarray}$ eine Basis ist. Du kannst also ein Element aus B durch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ersetzen und erhältst wieder eine Basis. Die Aussage, die du beweisen willst, erhälst du dann mit dieser Aussage und Induktion über $\begin{eqnarray} \|A\| \end{eqnarray}$ (im endlichdimensionalen Fall, im unendlichdimensionalen Fall wirst du so etwas wie Zorn'sches Lemma brauchen).

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