Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.

13.02.2011, 11:09

*HILFE* :)

Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.

Meine Frage:
Hallo, in der Schule üben wir gerade AUfgaben zum Mathewettbewerb 2011 und unser Lehrer hat gesagt wir sollten sie als Hausaufgabe fertig machen. Leider, weiß ich hier nicht wie die AUfgabe c) geht. (a und b hbe ich schon gemacht.

4. Gegeben seien die Parabel y=x^2 , ein Parabelpunkt
P (p/ p^2), p > 0, und die Tangente t in P (Steigung 2 p ).

a) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g durch P , die
senkrecht auf der Tangente steht (in Abhängigkeit von p ).
b) Berechnen Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes
Q(q/q^2) von g mit der Parabel (in Abhängigkeit von p ).
c) Wie muss P gewählt werden, damit der Abstand d von Q
zum Koordinatenursprung minimal wird?

Meine Ideen:

http://www.z-f-m.de/sites/default/files/downloads/Probeklausur2011 Lösungen.pdf,

die Lösung ist schon gegeben aber weder durch Differentialrechnung noch durch quadratische Gleichung verstehe ich wie das geht.

13.02.2011, 11:47

lgrizu

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
Die gleiche Aufgabe wurde hier schon einmal behandelt, du kannst dir ja den Thread erst mal durchlesen und dann sagen, wo du nicht weiterkommst oder was du nicht verstehst.

Parabel und Gerade

13.02.2011, 12:06

*HILFE* :)

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
Hb den Thread durchgelesen aber da werden nur die Aufgaben a) und b) berechnet bei c) hörts auf. Da steht P müsse null werden aber nach den Lösungen kann das nicht sein denn P ist ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} } /\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ )

IN der Lösung steht das d^2=q^2 + q^4 ist aber wieseo folgt dieses aus der Aufgabenstellung??

Und ich verstehe nicht ob die Steigung der Tangente sich ändert oder nicht. Aber eigentlich schon denn wenn P sich ändert dann ändert sich doch auch die Steigung oder?

13.02.2011, 12:28

lgrizu

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.

Zitat:

Original von *HILFE*
IN der Lösung steht das d^2=q^2 + q^4 ist aber wieseo folgt dieses aus der Aufgabenstellung??

Der Abstand eines Punktes (x,y) zum Ursprung ist $\begin{eqnarray*} d= \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ (nach Pythagoras), quadrieren führt zu:

$\begin{eqnarray*} d^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun wir der errechnete Punkt Q eingesetzt und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} d^2=\left( -p-\frac{1}{2p} \right)^2+\left( -p-\frac{1}{2p} \right)^4 \end{eqnarray*}$ .

13.02.2011, 12:50

*HILFE :)

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
Oh das wusste ich nicht. Danke das erklärt schonmal einiges.

Ich hb dann $\begin{eqnarray*} d^{2} =p^{4} +3p^2+\frac{5}{2} +\frac{3}{4p^2} +\frac{1}{16p^4} \end{eqnarray*}$

aber wie ergänze ich das damit ich die Wurzel ziehen kann oder braucht man das nicht?

13.02.2011, 14:34

lgrizu

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
Nun berechnest du das Minimum von d² durch bilden der Ableitung, denn dein d² ist ja eine Funktion von q, du differenzierst also d² nach q.

13.02.2011, 15:12

*HILFE*:)

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
OK ich versteh nicht so ganz warum man das macht aber ich hb jtz die richtige Lösung raus. Aber wieso kommt man von
q´=(-p-1/(2p) auf = -1+ 1/(2p^2)

13.02.2011, 15:34

*HILFE* :)

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
Ah jtz hb ichs verstanden also das mit der ABleitung und der suche eines Minimums aber das was ich oben geschrieben hbe über q`also wie man auf -1+1/(2p^2) kommt weiß ich nicht

13.02.2011, 17:54

lgrizu

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
Es ist doch $\begin{eqnarray*} q=-p-\frac{1}{2p} \end{eqnarray*}$ , Ableiten nach p bringt $\begin{eqnarray*} q'=-1+\frac{1}{2p^2} \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 19:08

*HILFE*:)

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RE: Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.
Oh achso ja ok smile

Danke

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Wie muss ein Punkt gewählt werden damit der Abstand zu einem anderen minimal wird.

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