Selbststudium Differenzialrechnen - Seite 3

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19.02.2011, 11:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Nenner hast Du eine binomische Formel, aber es lohnt sich nicht, die extra auszurechnen. Im Zähler kannst Du aber noch weiter zusammenfassen.
19.02.2011, 11:27	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
-x^2+1 ---------- x^4+1 aber ich kann doch -x^2 und x^4 kürzen bzw -x^2 ------- +1 x^4
19.02.2011, 11:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zähler stimmt, der Nenner nicht. Nimm mal ein einfaches Zahlenbeispiel: Ist 25=5²=(3+2)²=3²+2²=9+4=13 ?
19.02.2011, 11:36	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
also der 1 bleibt im zähler da kann blos noch sein das bei x^2-2x^2 ne binomische formel is? oder dass ich nicht richtig potenzgerechnet hab? aber die potenz müsste passen da 4^2-2*4^2=-16
19.02.2011, 11:42	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
hä? was is denn nun richtig zähler oder nenner gehe von -x^2+1 ---------- x^4+1 aus
19.02.2011, 11:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, Zähler (also das obere) ist richtig, der Nenner nicht. Du hattest $\begin{eqnarray} (x^2+1)^2=x^4+1 \end{eqnarray}$ gerechnet, aber das stimmt erstens nicht und zweitens ist es unzweckmässig den Term klammerfrei darzustellen, da die Produktform sehr praktisch für manche Untersuchungen ist.
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19.02.2011, 12:03	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
aber (a^n)^m=a^m*n oder etwa nicht meinst du ich sollte gar nicht klammerfrei darstellen
19.02.2011, 12:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel ist zwar richtig, hat aber nichts mit der hier vorliegenden Form zu tun. Was Du meinst wäre $\begin{eqnarray} (x²)²=x^4 \end{eqnarray}$ , aber hier steht $\begin{eqnarray} (x^2+1)^2 \end{eqnarray}$ und das ist halt was ganz anderes (nämlich eine binomische Formel). Bzgl. klammerfreier Darstellung: Da man ja im Regelfall noch weitere Ableitungen benötigt ist eine kompakte Darstellung der Form $\begin{eqnarray} (x^2+1)^2 \end{eqnarray}$ besser als $\begin{eqnarray} x^4+2x^2+1 \end{eqnarray}$ , denn man hat nur eine Funktion abzuleiten und nicht drei Einzelterme. Da dieser Term bei weiteren Ableitungen wieder in den Zähler wandert, wird auch das Auffinden von Extremwerten und Wendestellen einfacher, wenn man eine kompaktere Darstellung wählt. Merk Dir für den Moment am besten, dass Du Klammern nicht mehr ausmultiplizierst, wenn sie alleine stehen.
19.02.2011, 12:38	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
also wäre die ableitung -x^2+1 ----------------- (x^2+1)^2 des dann mit 0 gleichsetzen und ich erhalte die extremwerte
19.02.2011, 12:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung ist richtig. Bzgl. der Extrema ist die Aussage zu pauschal. Du erhältst durch das Null setzen erst einmal Kandidaten für die Extremstellen. Ob es auch wirklich solche sind, stellst Du erst nach Einsetzen in die zweite Ableitung fest.
19.02.2011, 13:21	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
die nullstellen wären -1 und1 jetz probier ich die 2. ableitung zu bilden
19.02.2011, 13:29	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin mir nicht sicher bei (x^2+1)^2 aber ich vermute 4x?
19.02.2011, 13:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung. $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray}$ Zerlegen wir das in $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\quad mit \quad u(x)=-x^2+1\quad und \quad v(x)=(x^2+1)^2 \end{eqnarray}$ dann interessieren die Einzelableitungen. Was ist u'(x) und was v'(x)? Sollte Dir die Verkettung von v(x) ein Problem bereiten, dann multipliziere es halt doch aus (Oder schau Dir die Kettenregel an, ist aber etwas komplizierter als die bisher erwähnten).
19.02.2011, 15:44	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja des is mir schon klar, denke ich u"=-2x aber bei v" hab ich meine probleme, lautet hier die ableitung 4x+2 oder 2x^2 oder 2x^2+2 kettenregel keine chance ich probiers jetz mal über binomische formels
19.02.2011, 15:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
u'(x)=-2x meinst Du hoffentlich. Zur Kettenregel: Wenn Du eine Funktion in eine andere einsetzt und das dann ableitest, musst Du herausfinden, was die innere(also die eingesetze) und was die äußere Funktion ist. Hier wären x²+1 die innere (da es in Klammern steht)und x² die äußere Funktion.
19.02.2011, 15:54	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
bei den binoschen formel erhalte ich x^4+2x^2+1^2 f"(v)= 4x^3+4x+2 und des jetz mit der quotientenregel mach ich gerade
19.02.2011, 15:55	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
moment langsam mit der kettenregel das heist x^2+1 ist die innere funktion und diese funktion^2 ist die äusere funktion? und diese beiden multiplizieren dann wäre die ableitung 2x+2?
19.02.2011, 15:56	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
warum u´ ist doch schon die 2. ableitung
19.02.2011, 16:01	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
machen wir bei der kettenregel weiter
19.02.2011, 16:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Multiplizieren stimmt nur zum Teil. Du multiplizierst nicht die beiden Ableitungen, sondern musst vorher noch in die äußere Ableitung die innere Funktion einsetzten, da die Verkettung (also das Einsetzen) nicht durch die Ableitung wegfällt. $\begin{eqnarray} v(x)=(x^2+1)^2 \end{eqnarray}$ innere Funktion : x²+1 ergibt abgeleitet? äußere Funktion: t² (Ich benenne die Variable kurz anders, da wir dafür ja wieder die innere Funktion einsetzen müssen) ergibt abgeleitet? Das Ergebnis ist dann (innere Funktion abgeleitet) mal (äußere Funktion abgeleitet, wobei für t wieder die innere eingesetzt wird)
19.02.2011, 16:55	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
innere funktion wäre 2x die äusere wäre 2t=2*2x ergibt zusammengefasst 6x^2
19.02.2011, 17:01	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
und des is der nenner der zähler lautet -2x jetz brauch ich aber noch die quotientenregel und dann kann ichs mit 0 gleichsetzen?
19.02.2011, 17:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Wir haben doch t=x²+1
19.02.2011, 18:44	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber zum quadrat die ableitung von t^2 ist doch 2t und von x^2 is die ableitung 2x und von 1 die ableitung 0 also 2*2x oder
19.02.2011, 18:51	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung von t² ist 2t und (x²+1) ist 2x, soweit stimmt es. Nach der Kettenregel ergibt sich daraus aber die Ableitung 2t2x=4tx und für t hast Du ja x²+1 zu setzen. Dann zur Quotientenregel: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v²(x)} \end{eqnarray*}$
21.02.2011, 17:18	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich faÃŸe nochmal zusammen 6x --------- 4x^2+1 richtig? und jetz noch quotientenregel
22.02.2011, 11:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiss nicht, wo Du die Funktion jetzt wieder her hast. Wir hatten auf der vorherigen Seite aufgeschrieben, was u und was v ist. Jetzt geht es um die Ableitungen dieser beiden Funktionen, die wir inzwischen auch bestimmt haben: u'(x)=-2x und v'(x)=4tx=4(x²+1)x Das musst Du nun in die Quotientenregel einsetzen, um die Ableitung von $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ zu bekommen.
22.02.2011, 13:04	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
-2x(x^2+1)^2-(x^2+1)(4x^2+1x) ----------------------------------------------------- ((x^2+1x)^2)^2
22.02.2011, 13:56	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein v'(x) ist falsch. Schau noch mal genau nach, was ich direkt darüber geschrieben habe. Wenn Du das richtig einsetzt, kannst Du (x²+1) ausklammern und anschließend kürzen. Den Rest musst Du dann noch zusammenfassen.
22.02.2011, 20:10	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
oh verschriebn -2x(x^2+1)^2-(x^2+1)4(x^2+)x --------------------------------------------- (x^2-1^2)^2 mit ausklammern meinst binomische formeln und dann kürzen?
22.02.2011, 22:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausklammern= Vor die Klammer bringen (hier unter Erzeugung einer Klammer) Zum Beispiel wären ab+ab²=ab(1+b) oder x²+2x=x(x+2) ein Beispiel fürs Ausklammern. Du kannst immer nur solche Terme ausklammern, die in alle Summanden auftauchen.
23.02.2011, 14:32	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
f"=-2/x-2/x^3-4x
23.02.2011, 14:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht mir ziemlich falsch aus. Was hast Du denn ausgeklammert?
23.02.2011, 15:34	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
-2x^3-2x-4x^5+x ----------------------- x^2-1 oh ichglaub ich habdurch -1 teilen vergessen
23.02.2011, 21:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch mal die Frage: hast Du ausgeklammert? Bsp in dem x ausgeklammert wurde: $\begin{eqnarray} \frac{x^2-2x}{x^3+x}=\frac{x(x-2)}{x(x^2+1)}=\frac{x-2}{x^2+1} \end{eqnarray}$
24.02.2011, 13:54	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kapier nicht wie du des meinst oben kann ich blos x aausklammer und hätte dann -x*[ (2x^2+1+4x^4) / (x^2-1)^4] im zähler
24.02.2011, 14:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Du kannst nicht nur x ausklammern. Kleiner Tip: Setze mal vorübergehend t=(x²+1) in den Term ein und schau dann, was Du ausklammern kannst. Wenn Du das erfolgreich gemacht hast, setzte für t wieder den "richtigen" Term ein.
25.02.2011, 06:37	ohneabi	Auf diesen Beitrag antworten »
-6(x^4+1) ------------------------ x^4-1)
25.02.2011, 13:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das ganze jetzt mal etwas voranzutreiben: Es ist $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{(x^2+1)^2 \cdot (-2x) - (-x^2+1)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4} <br /> =\frac{(x^2+1) \cdot ((x^2+1)(-2x) - (-x^2+1)\cdot 2\cdot 2x)}{(x^2+1)^4}<br /> = \frac{ (-2x)(x^2+1) - (-x^2+1)\cdot 2\cdot 2x}{(x^2+1)^3}<br /> = \frac{ (2x)(-x^2-1-(-x^2+1)\cdot 2)}{(x^2+1)^3}<br /> = \frac{ (2x)(x^2-3)}{(x^2+1)^3}<br /> \end{eqnarray}$
25.02.2011, 15:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
@ohneabi: Bitte eröffne für die nächste Aufgabe, welche du bearbeiten möchtest einen neuen Thread, dieser hat 118!!!! Beiträge und ausser Helferlein wird sich niemand die Mühe machen diese durchzulesen, du bist also einzig auf die Hilfe von Helferlein angewiesen. Hinzu kommt, dass, wenn es möglich ist, nur eine Aufgabe pro Thread bearbeitet werden soll.

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