Verständnisfrage - Hessesche Normalform

13.02.2011, 16:30	Chris123321	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage - Hessesche Normalform Meine Frage: Hallo! Ich versuche gerade zu verstehen, wieso man mithilfe der Hesseschen Normalform den Abstand eines Punktes von der Ebene berechnen kann. Auf folgendes bin ich schon gekommen: Gehen wir davon aus, dass ich den Abstand eines Punktes von der x-y-Ebene berechnen will. Ich setze den Punkt (1\|1\|1) in die Gleichung der Hesseschen Normalform ein und gehe davon aus, dass der beliebige Punkt der Ebene sehr weit vom Punkt (1\|1\|1) entfernt ist, zB (3000\|2000\|0). Die Gleichung lautet demnach: [(1\|1\|1)-(3000\|2000\|0)](0\|0\|1)=d (1\|1\|1)-(3000\|2000\|0) heißt, ich berechne den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{PX} \end{eqnarray}$ wenn P der Punkt (3000\|2000\|0) ist und X der Punkt, den ich gewählt habe (1\|1\|1). Hier stehe ich nun an. Ein Skalarprodukt von $\begin{eqnarray} \vec{a}\vec{b} \end{eqnarray}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray} \vec{\|a\|}\vec{\|b\|}cos(\alpha ) \end{eqnarray}$ . Aber warum ist nun das Resultat des Skalarproduktes von PX und n0 der Abstand des Punktes von der Ebene? Zwischen P und X liegt eine große Distanz. Wird diese Distanz durch den cosinus des Winkels zwischen P und X im Skalarprodukt sozusagen "ausgeglichen"? Nochmal zusammengefasst: - Wenn ich den beliebigen Punkt P einer Ebene sehr weit entfernt vom Punkt X, dessen Abstand zur Ebene berechnet werden muss, setze, wird dann diese Distanz durch das Skalarprodukt aufgehoben bzw. vereinheitlicht? - Warum ist dieses Ergebnis multipliziert mit dem Einheitsvektor nun der Abstand? Ich hoffe, ich habs verständlich beschrieben. Danke im Voraus für alle Antworten! Meine Ideen: Sind im Text
13.02.2011, 16:51	Nelstar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage - Hessesche Normalform Der Abstand ist ja definiert als der kürzeste Abstand des Punktes von der Ebene. Und ja: der große Abstand zwischen P und X wird durch den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{PX} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ im Skalarprodukt "neutralisiert".
13.02.2011, 17:55	Chris123321	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Aber wieso ist dann die Multiplikation vom Einheitsvektor mit dem Skalarprodukt von X und P der Abstand?
13.02.2011, 18:10	Nelstar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage - Hessesche Normalform $\begin{eqnarray} \vec{PX} \cdot \vec{n} = \|\vec{PX}\| \cdot \|\vec{n}\| \cdot cos \gamma \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \|\vec{n}\| = 1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \vec{PX} \cdot \vec{n} = \|\vec{PX}\| \cdot cos \gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist der Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{PX} \end{eqnarray}$ und der Normalen zu E Wenn wir uns nun ein rechtwinkliges Dreieck PXF vorstellen (F ist der Punkt von E, dessen Abstand zu X am geringsten ist - also: FX ist der kürzeste Abstand von X zu E), dann gilt dort: $\begin{eqnarray} \|\vec{XF}\| = \|\vec{PX}\| \cdot cos \gamma \end{eqnarray}$ Und damit: $\begin{eqnarray} \|\vec{XF}\| =\vec{PX} \cdot \vec{n} \end{eqnarray}$

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