Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

13.02.2011, 18:38

LyriaEL

Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Hallo

Ich bin gerade an der Prüfungsvorbeireitung und wollte noch "schnell" ein paar alte Prüfungsaufgaben lösen, da bin ich aber an eine gestossen welche mich fast zur Verzweiflung bringt. Die Aufgabe ist folgende:

a)Zeigen Sie, dass für a > 1 das uneigentliche Integral

$\begin{eqnarray*} I(a) = \int_2^\infty \! \frac{1}{x(ln(x))^{a} } \, dx \end{eqnarray*}$

konvergiert und berechnen Sie der Wert von I(a).

b) Zeigen Sie, dass für a > 1 die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{k(ln(k))^{a} } \end{eqnarray*}$
konvergiert.

Da das ganze eine Prüfungsaufgabe ist, sollte man das effizient angehen, man sieht ja sofort, dass der erste und der zweite Teil zusammen hängen. Aber wie packt man das an?
Mein erste Versuch war Folgender:
Wenn man den Wert herausfindet, hat man schon gezeigt, dass man Integral konvergiert. Aber beim Integrieren selbst bin ich gescheitert; weder Partialintegration noch Substitutionen haben mich an mein Ziel gebracht.
Meine nächste Idee:
Falls die Reihe konvergiert, so konviergiert auch das Integral:
Ich habe das Quotientenkriterium versucht und bin auch nichts schlaues gekommen. (Als ich jedoch ausversehentlich einmal den Konvergenzradius berechnet habe, wäre endlich was schönes rausgekommen, aber danach ging mir auf, dass es sich ja eben nicht um eine Potenzreihe handelt.)

Lösungen zu den Aufgaben habe ich leider keine, von einen Tipp aus der übungsstunde schliesse ich jedoch, dass man tatsächlich zuerst a lösen sollte und das dann in b mit Untersumme benutzen soll.
Ich wäre sehr dankbar um einen guten Anstoss, wie ich diese Aufgabe anpacken soll.
Vielen Dank!

13.02.2011, 20:41

Mulder

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RE: Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Zitat:

Original von LyriaEL
Aber beim Integrieren selbst bin ich gescheitert; weder Partialintegration noch Substitutionen haben mich an mein Ziel gebracht.

Dabei sollte einem die zielbringende Substitution hier wirklich ins Gesicht springen. Probier doch mal

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=t \end{eqnarray*}$

Vielleicht kommst du danach ja auch schon mit der b) zurecht.

13.02.2011, 21:34

LyriaEL

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hab ich schon probiert, probiers aber noch einmal... danke =)

13.02.2011, 21:44

LyriaEL

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Hallelujah!

Vielen Dank Mulder! Ich muss ja ziemlich durcheinander gewesen sein, dass ich das vorhin nicht hinbekommen habe. Wie du sagt, es ist eigentlich ziemlich offensichtlich, was man substituieren sollte, aber... *seufz*

Ich versuch jetzt noch b) =)

13.02.2011, 22:02

LyriaEL

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Ich komm doch nicht weiter, oder besser gesagt: meiner Meinung nach bin ich ja schon fertig. Aber das wäre wohl zu einfach.

Ein Satz (Integralvergleichskriterium für Reihen) in unserem Skript sagt, dass:

Ist f: [1, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) --> [0, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) monoton fallend, so gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty f(n) \end{eqnarray*}$ konvergent ist Äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ konvergent

Bin ich dann nicht schon fertig? Monotonie nach zuweisen ist ja nicht allzu schwer, oder versteh ich den Satz nicht richtig?

14.02.2011, 09:18

saz

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Zitat:

Original von LyriaEL
Bin ich dann nicht schon fertig? Monotonie nach zuweisen ist ja nicht allzu schwer, oder versteh ich den Satz nicht richtig?

Ja, du hast es richtig verstanden. Dass f in dem Fall tatsächlich positiv ist, solltest du der Vollständigkeit halber vllt. auch noch bemerken. Wink

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