Vollständige Induktion

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13.02.2011, 19:16	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Bin ein Induktionsanfänger und habe so meine Probleme Ich sitze an der Aufgabe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n kk! = (n+1)!-1 \end{eqnarray}$ Induktionsanfang ist klar. Induktionsschritt* $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n kk! = (n+1)!-1 \end{eqnarray}$ ,dann $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} kk! = (n+2)!-1 \end{eqnarray}$ Beweis $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} kk! = \sum\limits_{k=1}^{n} kk! +(n+1)(n+1)! = (n+1)!-1+(n+1)(n+1)! \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig und wie mache ich weiter? Bin für eure Hilfe sehr dankbar!
13.02.2011, 19:43	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
soweit ist alles richtig! Du könntest jetzt z.B (n+1)! ausklammern, dann die Klammer zusammenfassen und dann steht dein Ergebnis da! Gruß Johnsen
13.02.2011, 19:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Da war jemand schneller
13.02.2011, 19:46	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke - dann habe ich $\begin{eqnarray} (n+1)! n \end{eqnarray}$
13.02.2011, 19:53	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann hast du das? Hast du ausgeklammert? Schreibe bitte nur ganze Terme und nicht stückweise, dann weiß man nicht, wo du gerade bist.
13.02.2011, 19:57	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Umformen bin ich dazu gekommen: $\begin{eqnarray} (n+1)!-1+(n+1)(n+1)!= (n+1)! (-1+n+1)=(n+1)! n \end{eqnarray}$
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13.02.2011, 20:01	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nicht! -1 kannst du nicht ausklammern!
13.02.2011, 20:03	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
wie forme ich das richtig um ?? ich raffe es gerade nicht**
13.02.2011, 20:08	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (n+1)!-1+(n+1)(n+1)!~=~(n+1)! \cdot [1+(n+1)]-1 \end{eqnarray}$ Jetzt in der Klammer zusammenfassen, ein kleiner Schritt noch, dann hast dus!
13.02.2011, 20:14	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} =(n+1)! (2+n) -1 \end{eqnarray*}$
13.02.2011, 20:15	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig, und was ist das?
13.02.2011, 20:17	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für deine hilfe $\begin{eqnarray} =(n+2)!-1 \end{eqnarray}$
13.02.2011, 20:18	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es! Gruß Johnsen
13.02.2011, 20:19	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
danke Johnsen - hatte gerade voll das induktive Erfolgserlebnis !!!
13.02.2011, 21:25	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
mit der Induktion über Summen komme ich jetzt klar.. jetzt schlage ich mich mit Induktionen über Ungleichungen herum: Eine kleine grundsätzliche Frage: $\begin{eqnarray} n^{2}> 2n+1 \end{eqnarray}$ für n größer gleich 3 $\begin{eqnarray} (n+1)^{2} = n^{2}+2n+1 > 2n+1+2n+1>2n+3 \end{eqnarray}$ wie kommt man dazu für $\begin{eqnarray} n^{2}+2n+1 \end{eqnarray}$ größer $\begin{eqnarray} 2n+1+2n+1 \end{eqnarray}$ zu schreiben ??? Beispiel von hier
13.02.2011, 21:35	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt die Induktionsvorausetzung ein für das n². dann kommt man genau auf das! Der Trick bei der vollst. Induktion ist ja, dass man die Induktionsvorausetzung einsetzt und als wahr annimmt! Gruß Johnsen
14.02.2011, 19:57	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
zu spät
14.02.2011, 19:59	matheole	Auf diesen Beitrag antworten »
und genau das ist mein Problem: könntest du mir mal bitte die IV hinschreiben, dann seh ich das vllt.
14.02.2011, 21:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Johnsen offline ist, erlaub ich mir kurz zu übernehmen. Die IV lautet: $\begin{eqnarray} n^2>2n+1 \; \end{eqnarray}$ für ein bestimmtes n.

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